Können Matrizen Elemente eines Körpers sein?
Angenommen ich finde Matrizen, sodass die Körperaxiome dafür erfüllt werden. Kann ich dann einen Körper über eine Menge von Matrizen definieren? Oder anders gefragt, dürfen Matrizen Elemente einer Menge sein? Eigentlich spricht doch nichts dagegen, oder übersehen ich hier etwas?
3 Antworten
Du kannst Mengen aus allen möglichen Objekten bilden, auch aus Matrizen.
Es gibt definitiv Mengen von Matrizen, die Gruppeneigenschaften haben - additiv z.B. die Gesamtheit der Matrizen über einen Körper, multiplikativ z.B. die Menge der orthogonalen Matrizen.
Es gibt auch mengen von Matrixen, die Körpereigenschaften besitzen. Dazu musst du nur sicherstellen, dass die entsprechenden Operationen sinnvoll definiert hast und die Körperaxiome erfüllt sind. Das geht zum Beispiel mit den 1x1-Matrizen über den reellen Zahlen - die kannst du einfach mit den reellen Zahlen selbst identifizieren, und die sind ein Körper.
Du kannst auch einen Körper über einer Menge aus Autos definieren, solange die Autos die Körpereigenschaften haben, d.h. es entsprechende Operationen gibt, die auf Autos anzuwenden sind.
Beispiel: Die Menge aller Matrizen der Form
a -b
b a
mit reellen Zahlen a, b ist ein Körper bzgl. der üblichen Matrixaddition und Matrixmultiplikation.
