Frage von AnonyJS, 98

Wieso ist Ø Teilmenge von JEDER Menge M?

Diese Behauptung ist für mich absolut nicht nachvollziehbar.

Eine Teilmenge ist folgender maßen definiert:

Alle Elemente von A sind welche von B.

Also Alle Elemente von Ø sind welche von M.

Widerspruch, da Ø keine Elemente besitzt.

Also wenn Ø kein Element ist, so liegt in diesem ein Element das es keins von M wäre.

Wieder Widerspruch, da Ø kein Element hat-

Und daraus soll folgen das Ø Teilelement von jeder Menge ist?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 52

Hallo,

auch eine leere Menge ist eine Menge und kann deshalb auch eine Teilmenge sein. Ähnlich steckt auch die Null als Summand in jeder Zahl, denn x+0=x.

Aber Du hast schon recht: Ich habe mehrere Mathematikbücher zur Hand genommen. In jedem stand, daß die leere Menge Teilmenge jeder existierenden Menge ist; eine Begründung dafür wird aber nicht geliefert.

Ich denke mir das so:

Wenn Du eine Schnittmenge aus zwei Mengen bildest, bekommst Du als Ergebnis eine Menge heraus, die aus Elementen besteht, die beide Mengen gemeinsam haben. Die Schnittmenge besteht nur aus Elementen dieser beiden Mengen - es kommt kein Element aus einer anderen Menge hinzu, die von den Mengen unterschieden ist, deren Schnittmenge Du bildest.

Wenn Du nun die Schnittmenge zweier Mengen bildest, die augenscheinlich keine gemeinsamen Elemente haben, dürfte das Ergebnis eigentlich nicht definiert sein. Das Ergebnis ist aber die leere Menge. Da Du als Ergebnis einer Schnittmenge keine Menge bekommen kannst, die Elemente enthält, die nicht Bestandteil dieser beiden Mengen sind, muß die leere Menge unsichtbar Bestandteil dieser beiden Mengen gewesen sein, somit eine Teilmenge, die beiden gemeinsam ist.

Da dies aber für alle existierenden Mengen gilt, aus denen man Schnittmengen bilden kann, muß die leere Menge Teilmenge jeder existierenden Menge sein.

Allerdings bin ich kein Mathematiker, war halt nur ein Gedanke von mir.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von AnonyJS ,

Ich bin auch darauf gekommen das A ∩ B = { } sein kann. Aber das geht ja darauf zurück das Ø ⊆ A ist. Dennoch verstehe ich diese Aussage irgendwie nicht... bin ich einfach zu blöd? Deine Schlussfolgerung verstehe ich auch klar, daher kann ich mir das auch so vorstellen. Jedoch will ich die Aussage ohne irgend etwas drumherum verstehen.

Kommentar von Willy1729 ,

Meine Argumentation war, daß eine leere Menge niemals als Schnittmenge zweier Mengen existieren könnte, wenn sie nicht Bestandteil dieser Mengen wäre.

Letztlich ist es doch auch eine Definitionssache. Die Mengenlehre wurde uns Menschen schließlich nicht von Mutter Natur in die Wiege gelegt, sondern ist so etwas wie ein Gedankengebilde, das benötigt wird, um andere Gedankengebilde zu errichten oder um etwas zu begreifen, was auch zur Mathematik gehört.

Die Erde hat sich jahrtausendelang ohne die Mengenlehre bewegt und die Menschheit hat sich lustig auf ihr geliebt, fortgepflanzt und abgeschlachtet, ohne sich um leere Mengen und dergleichen zu kümmern.

Ich war Schüler, als die Mengenlehre in den Schulen eingeführt wurde. Wir Schüler begriffen nicht, was das sollte, unsere Eltern erst recht nicht - auch die Lehrer hatten teilweise keine Ahnung, was sie uns da eigentlich beibringen sollten und weshalb. Heute weiß ich, daß es der Versuch war, schon Schüler an echte Mathematik und nicht nur an Rechnereien heranzuführen. So abrupt, wie der Versuch begonnen hatte, wurde er wieder abgebrochen und die gute alte Schulmathematik kam wieder zu ihrem Recht wie zu Kaiser Wilhelms Zeiten. 

Die leere Menge ist nicht vom Himmel gefallen, sondern wurde als Gedanke von Menschen eingeführt, die sie benötigen, um in der Sprache der Mathematik gewisse sinnvolle Sätze bilden zu können. Nun - da sie einmal da ist, müssen wir wohl mit ihr leben.

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von PeterKremsner, 38

Schau dir mal die Definition an:

A ist eine Teilmenge von B wenn gilt: alle x Element von A sind ein Element von B.

Wenn A jetzt die Nullmenge ist dann steht da:

alle x Element von 0 sind ebenfalls ein Element von B.

Die Nullmenge enthält keine x und somit stimmt für jede Menge von B das alle Elemente der Nullmenge enthalten sind.

Du kannst es dir auch anders Vorstellen, über die Mengenvereinigung und zwar gilt:

A ist eine Teilmenge von B <=> A vereinigt mit B = B

wir nehmen jetzt A als die Nullmenge dann steht da:

0 vereinigt mit B != B <=> 0 Teilmenge von B (das != bedeutet wir nehmen das mal an und müssen es erst beweisen)

sofern also 0 vereinigt mit B = B ist gilt auch das 0 eine Teilmenge von B ist.

jetzt sehen wir uns die Mengen vereinigung an:

A vereinigt mit B = {x | (x e A) oder (x e B)}

wenn A die Nullmenge ist steht da:

0 vereinigt mit B = {x | (x e 0) oder (x e B)}

weil die Nullmenge keine Element enthält ist der erste Ausdruck immer Falsch und es ergibt sich:

0 vereinigt mit B = {x | x e B} = B.

damit haben wir die obige Annahme bewiesen und somit auch dass 0 eine Teilmenge von jeder Menge B sein muss. Weil wir keine Annahmen für B getroffen haben stimmt das für jede beliebige Menge B.

Umgekehrt stimmt das natürlich nicht denn wenn steht:

A vereinigt mit 0 != 0 <=> A Teilmenge von 0.

A vereinigt mit 0 ist aber A somit ist A auch keine Teilmenge von 0.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 19

Das liegt an der Auffassung der "Quantoren" seit ca. Mitte des 19. Jahrhunderts. (Quantoren sind die Dinger, mit denen man Sachverhalte wie "es gibt mindestens eins, für das gilt: ..." und "für alle gilt: ..." ausdrückt.)

Von den Zeiten Aristoteles', vermutlich seit noch früher, über die Scholastik hinaus bis in die frühe Neuzeit haben Logiker leere Bereiche für sinnlos gehalten (ebenso auch allumfassende Bereiche).

Nach der "klassischen" Logik folgt aus dem Allquantor also der Existenzquantor. Z. B. aus "Alle Hunde sind Säugetiere" folgt "Es gibt mindestens einen Hund".

Spätestens als man dann angefangen hat, sich vermehrt mit Bereichen zu beschäftigen, von denen man nicht weiß, ob sie leer sind oder nicht (wie Gegenbeispiele zur Goldbachschen Vermutung, (Gegen-)Beispiele zum letzten Fermatschen Satz, ...) musste man immer häufiger Konstruktionen verwenden wie "Wenn es überhaupt ein S gibt, dann gilt für alle S: ...".

Das ist natürlich lästig, und noch schlimmer, unübersichtlicher als nötig.

Also hat man den Allquantor umdefiniert, und zwar als

Für alle X∈G: P(X) :<=> Nicht: Es gibt ein X∈G: Nicht: P(X)

Damit ist jede Allquantor-Aussage über einen leeren Bereich automatisch erfüllt.

Mit dieser Definition des Allquantors folgt sofort, dass die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist.

Kommentar von AnonyJS ,

Okay, also ist die leere Menge auch in jeder Menge enthalten?

Kommentar von PWolff ,

"enthalten" im Sinne von "wird umfasst von": natürlich. Das bedeutet ja gerade der Begriff "Teilmenge".

"enthalten" im Sinne von "ist Elemeng von": natürlich nicht. Z. B. enthält eine Menge, die keine Mengen enthält, auch die leere Menge nicht.

-----

Übrigens gab es eine ähnliche Änderung der Auffassung auch bei der 0. Heute kommt es uns so selbstverständlich vor, dass die 0 eine (natürliche) Zahl ist. Das war vor 400 Jahren noch völlig anders. Nicht einmal die 1 war nach damaliger Auffassung unbedingt eine Zahl.

Antwort
von Nedam, 18

Ø steht für { } und heißt leere Menge. Dabei kann Ø selbst ein Element sein: { Ø }

Es gilt Ø ⊆ M da die Bedingung sich trivial erfüllt.

Eine Menge ist eine Teilmenge von einer anderen, wenn gilt:

∀x ∈ A l x ∈ B

wenn x = Ø ist die Aussage ebenfalls erfüllt. Das liegt daran weil eben Ø keine Elemente hat.

Es folgt auch nicht das jedes Element der Teilmenge auch Element der Obermenge dieser Menge ist die gleichzeitig Teilmenge von dieser ist. Dies gilt für alle x außer der Ø.

Außerdem A ∩ B = Ø, wenn gilt: ∀x ∈ A l x ∉ B und ∀x ∈ B l x ∉ A

Da A ∩ B = B ∩ A ist muss dies extra erwähnt werden.

Da Ø die Lösung ist muss klar Ø Teilmenge von A und B sein und da wir diese nicht weiter festgelegt haben, gilt dies für jede beliebige Menge.

Ich vermute Du hängst Dich zu sehr an dem Satz: Alle Elemente von A und es ist schon richtig das wenn man schon so annimmt, das man Elemente von Ø betrachtet es nicht weiter geht. Doch der Rest der Aussage erschließt es wenn man dies einfach zulässt.

Kommentar von Nedam ,

Meine für x = A

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 49

Alle Elemente von A sind welche von B.

Also Alle Elemente von Ø sind welche von M.

Widerspruch, da Ø keine Elemente besitzt.

Falsch! Kein Widerspruch. Eine Aussage, die sich auf alle Elemente einer Menge bezieht ist immer wahr, wenn die Menge leer ist.

Zum Beispiel sind alle Menschen der Menge Wale so stark wie Supermann.

Da die Menge der Menschen, die Teil der Menge Wale ist, leer ist, stimmt die Aussage, dass eben diese Menschen alle, ausnahmslos so stark wie Supermann sind.

Es gibt einfach kein Beispiel für einen Menschen dieser Menge, der nicht so stark ist wie Supermann. Also stimmt die Aussage.

Kommentar von AnonyJS ,

Aber man sagt doch schon "Alle Elemente von Ø..." das verwirrt mich sehr das dann die Aussage korrekt ist.

Kommentar von Suboptimierer ,

Ich kann dir höchstens noch mehr Beispiele sagen, aber ich kann das theoretisch, definitorisch nicht besser ausdrücken.

Wenn es in der Eisdiele kein Vanilleeis mehr gibt, dann stimmt die Aussage, dass alle Leute mit Vanilleeis glücklich sind genauso wie die Aussage, dass alle Leute mit Vanilleeis unglücklich sind genauso wie die Aussage, dass alle Leute mit Vanilleeis vom Mars kommen und alle Leute mit Vanilleeis politisch rechts sind und die Aussage, dass sie politisch links sind.

Es gibt einfach kein Element, dass die Falschheit der Aussage belegen könnte.

Antwort
von lks72, 33

Alle Elemente der leeren Menge sind in A. Diese Aussage ist wahr. Die Verneinung lautet nämlich: Es gibt ein Element aus der leeren Menge, welches auch in A ist, und diese Aussage ist trivialerweise falsch, also ist die ursprüngliche Aussage richtig.

Kommentar von lks72 ,

hier soll diebKorrektur hin: ... welches nicht in A ist. So ist es richtig . Blöde Schreiberei hier mit dem Handy

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 16

Also wenn Ø kein Element ist,…

Ist sie nicht, es ist ja eine Menge.

…so liegt in diesem ein Element das es keins von M wäre.

Hä? ∅ enthält kein Element, also auch keines, das nicht in M wäre.

Wieder Widerspruch, da Ø kein Element hat

Eben nicht, im Gegenteil: Über etwas, das nicht existiert, ist aussagenlogisch jede Aussage wahr. Die Definition 

(1) A⊂M ⇔ a ∈ A ⇒ a ∈ M (wenn etwas zu A gehört, gehört es auch zu M)

lässt sich auch umkehren:

(2) A⊂M ⇔ a ∉ M ⇒ a ∉ A (was nicht zu M gehört, gehört auch nicht zu A).

Ist A = ∅, so gilt a ∉ A ∀ a überhaupt, d.h. (2) ist trivialerweise erfüllt: Da sowieso nichts zu A = ∅ gehört, gehört insbesondere auch kein a ∉ M dazu.

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