Können Ebenen im 4-dimensionalen Raum nur einen Schnittpunkt haben?
Also in 3D können Ebenen ja entweder eine Schnittgerade haben, identisch oder parallel sein. In 4D können sie identisch, parallel sein, keine Schnittmenge haben und eine Schnittgerade haben. Können sie denn auch NUR EINEN Schnittpunkt haben????
4 Antworten
Grundsatzfrage: Was ist eine n-dimensionale Ebene? Antwort: Das "nichtvorstellbare Bild" einer linearen Funktion von n Variablen. Ein gemeinsamer Punkt von k Ebenen ist dann ein n-Tupel, welches jede der k linearen Funktionen erfüllt. In deinem Fall ist n=4 und es entsteht ein lineares Gleichungssystem von k Gleichungen mit 4 Variablen, welches keine, genau eine (deine Frage!) oder unendlich viele Lösungen haben kann. Wähle ein Beispiel mit k=4 und löse das Gleichungssystem! (Die Wahrscheinlichkeit, dass Du genau eine Lösung, d.h. genau einen Schnittpunkt erhälst, ist sehr hoch.)
Ja, die Schnittmenge zweier Ebenen in 4d ist entweder eine Ebene (wenn sie in der selben Ebene liegen) eine Gerade (wenn sie im selben Raum liegen aber nicht in der selben Ebene) oder ein Punkt (wenn sie im selben Hyperraum liegen aber nicht im selben Raum). Eine leere Menge sie windschief sind. Dazu müssen sie in 4d in Parallelen Räumen liegen
Wenn die Koordinaten in 4D (x,y,z,w) heißen, dann haben z.B. die xy-Ebene und die zw-Ebene nur den Nullpunkt als gemeinsamen Schnittpunkt.
Ja, können sie.
Und sie können auch windschief sein!
Stell sie dir wie Geraden in 3D vor.
Gut danke, dann hab ich mich ja nicht verrechnet :) (mit keine Schnittmenge ist windschief gemeint ;))
und übereck-perspektive!