Kleinste Flächeninhalt des Parallelograms?
Könnte mir einer behilflich sein und behilflich sein & erklären wie das geht, bzw. was das Ergebnis ist? Diese Aufgabe gehört zu Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen.☺️
5 Antworten
Hallo annxlee,
Ich versuche Das mal Schritt für Schritt zu erläutern.
Die Fläche des Rechtecks beträgt (5*8) = 40 ! Dies wäre also die 'maximale Fläche' des eingeschriebenen Parallograms für x=0.
Gesucht ist aber die minimale Fläche.
Man argumentiert jetzt so:
Die Fläche des Paralleograms ist gleich der Fläche des Rechtecks 'minus' der Fläche der 'ausgesparten' Dreiecke, davon gibt es 4, von denen jeweils 2 indentich sind.
Jetzt zur Fläche der 'ausgesparten' Dreiecke.
Oben rechts und unten links bträgt die Fläche der Dreiecke jeweils (x * (5-x))/2
Unten rechts und oben links bträgt die Fläche der Dreiecke jeweils (x * (8-x))/2
Das rechnen wir mal zusammen:
Die Summe der Flächen der 'ausgesparten' Dreiecke ist also 2*(x * (5-x))/2 + 2*(x * (8-x))/2 = x * (5-x) + x * (8-x) = 5x - x^2 + 8x - x^2 = 13*x - x^2
Diese muß von der Fläche des Rechtecks abgezogen werden um eine Gleichung für die Fläche des Paralleograms zu erhalten.
Also mit Fp 'als Fläche des Paralleograms' Fp(x) = 40 - (13*x - x^2) ->
Fp(x) = x^2 - 13*x + 40
Jetzt wird also nur noch das Minimum von Fp in Abhängikeit von x gesucht (differenzieren und Nullstellen bestimmen). Ich gehe mal davon aus, daß Dir Das keine Schwiergkeiten bereitet. Wenn doch, dann schreibe mir einen Kommentar !
MFG automathias
Die Fläche des Parallelogramms ist
f(x) = 40-(x*(5-x)) - (x*(8-x))
Quadratische Gleichung, Minimum suchen.
Probe: x = 3,25
Fläche = 40 - 2 * 0,5 * x * (5-x) - 2 * 0,5 * x * (8-x)
Fläche = 40 - 5x + x² - 8x + x² = 2x² - 13x + 40
Fläche´ = 4x - 13 = 0
x = 13/4 = 3,25
die 2 seiten bzw. deren quadrate lassen sich über
(5-x)^2*x^2=a^2 und
(8-x)^2*x^2=b^2 bestimmen
Frage ist eher:
flächeninhalt eines parallellogramms ist
Seite*Höhe senkrecht zur Seite
oben habe ich a als die seite links und rechts auf dem bild bezeichnet und b als die seite oben und unten.
um die höhe zu wissen, müssen wir wissen wie groß oder klein der innenwinkel ist, bspw, unten links im parallelogram.
dazu berehcnen wir
tan(beta)=x/(5-x)
damit beta=arctan(x/(x-5)
und damit den innenwinkel
alpha=Pi-beta
kennen wir alpha , können wir die höhe die senlkrecht zu b steht, bestimmen über
hb=a/sin(alpha)
ais gründen der einfachheit betrachten wir lieber zuerst das quadrat des flächeninhalts, minimieren den und gucken dann wie der normale flächeninhalt aussieht.
also A^2=b^2*hb^2
=b^2*a^2/sin(alpha)^2
=(ab/sin(Pi-arctan(x/(x-5))))^2
ab noch durch die formeln oben ersetzen.
und nahcgucken was man alles vereinfachen kann.
und dann das übliche ableitung=0 spiel machen.
wobei es sicherlich viel einfachere geometrische ansätze gibt wo man gar nicht mit arctan und co agieren muss :-)
Gott, bin ich dumm! Natürlich kann man es auch einfach finden durch Abziehen der Dreiecke vom Rechteck -.-
Hier die selbe Aufgabe per Bild nur mit anderen Zahlenwerten.
Da brauchst du nur abschreiben.
Bild kannst du vergrößern oder auch herunterladen.
