Kanonenkugel Flugweite?
Hey Leute, folgender Sachverhalt: Eine Kanone feuert eine 80 Pfund schwere Kugel maximal 5 Km weit (Winkel etwa 40°). Wie kann ich rausfinden welche Energie dazu nötig ist? Und wie weit würde eine 130 Pfund schwere Kugel bei gleichem Winkel und gleichem Energieaufwand fliegen?
2 Antworten
Die Sache ist kompliziert:
Die kinetische Energie berechnet man über die Formel
E = 1/2 * m * v^2
Aber vorsicht: v ist eine "schräge" Geschwindigkeit, die sich aus den beiden Geschwindigkeitskomponenten v_x0 und v_y0 zusammensetzt. Darum
E = 1/2 * m * (v_x0^2 + v_y0^2)
Die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung wird immer gleich bleiben. Nicht jedoch in y-Richtung. Hier gelten die Zusammenhänge wie beim senkrechten Wurf nach oben.
v_y(t) = v_y0 - g * t
Für den Startzeitpunkt gilt ausserdem, dass der 40° Winkel schon die Geschwindigkeitsverhältnisse festlegt
v_y0/v_x0 = tan 40°
Ausserdem fliegt das Ding 5km weit. Also müssen wir noch eine Wegabhängigkeit definieren. Es gilt
s_x = v_x0 * t_F
wobei mit t_F die Flugzeit gemeint ist.
Die Flugzeit wiederum bestimmst Du aus dem Zusammenhang für den senkrechten Wurf nach oben. Es gilt folgende Wegformel
s_y = v_y0 * t - 1/2 * g * t^2
Wenn die Kugel den Boden wieder berührt gilt s_y=0. Durch Nullsetzen der Gleichung errechnest Du die Flugzeit t_F.
g = 9,81 m/s^2
Damit hast Du alle Formeln beisammen, die Du zum Ausrechnen brauchst.
Das geht aber auch einfacher. Warum nicht einfach die Winkelabhängigkeit der Anfangsgeschwindigkeit in die Gleichung für den schiefen Wurf mit einberechnen und nur den Betrag der Geschwindigkeit verwenden?
Für die kinetische Energie gilt:
(1) E = 1/2 * m * v²
Die Gleichung für die Wurfparabel lautet:
(2) x(t) = v * t * cos(β) bzw für die Höhe:
(3) y(t) = v * t * sin(β) - (g/2) * t²
Die maximale Weite wird erreicht wenn die Kugel wieder auf Ausgangshöhe ist, also y(t_max) = 0
Damit erhälst du die Flugzeit:
(4) t_max = (v²/g) * sin(2*β)
setzt du das t_max in x(t) ein, erhälst du die maximale Weite
Schrittweise Lösung:
- Zuerst berechnest du mit (2) und (4) die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel
- Danach mit dieser Geschwindigkeit und (1) die Energie, welche die Kanone aufbringen kann
- Anschließend mit dieser Energie und den Werten für die andere Kugel wieder aus (1) die Anfangsgeschwindigkeit der neuen Kugel
- Und zum Schluss mit dieser Geschwindigkeit aus (2) und (4) die maximale Weite der neuen Kugel
Doch, doch, das Gewicht spielt eine entscheidende Rolle. Um es ganz korrekt auszudrücken sollte man lieber von Masse sprechen. Die ist dann auch im schönen Formelsatz von max32168 und in meinem Formelsatz in der Gleichung
(1) E = 1/2 * m * v²im Formelzeichen m codiert. Du musst Dir nur noch die Mühe machen und alle Formel so verarbeiten, dass die gestellten Fragen beantwortet werden. Erstes ermittelst Du die Energie, die erforderlich ist, um eine 80 Pfund (was sind den Pfund?) schwere Kugel 5km weit fliegen zu lassen. Die gleiche Energie wird dann auf eine 130 Pfund Sterling schwere Kugel losgelassen, die dann vermutlich nicht mehr so weit fliegt. Aber wie weit genau? Das ist ja die besondere Fragestellung in dieser Aufgabe.
Zwei Formeln benötigst du dafür:
- Kinetische Energie
- Schiefer Wurf
Zu aller erst: vielen Dank für deine super ausführliche Antwort! Damit hilfst du mir sehr weiter! Nur verstehe ich das richtig, das Gewicht ist nicht Teil der Gleichungen?