Kann mir jemand den Lösungsweg dieser Matheaufgabe sagen?
Wir haben heute in Mathe einen Test geschrieben, bei dem ich einfach nicht auf das Ergebnis der 2.Aufgabe gekommen bin. Vielleicht kann mir ja jemand die Lösung sagen :)
Die Aufgabe:
Zwei Türme stehen gegenüber. Der eine Turm ist 40 m und der Andere 50m hoch. In der Mitte steht ein Brunnen, zu dem beide Türme gleich weit entfernt sind. Man bindet ein 100 m langes Seil von der einen Turmspitze bis runter zum Brunnen, und wieder hoch zur Spitze des anderen Turms. Wie weit sind beide Türme voneinander entfernt?
3 Antworten
Abstand der Türme: x
Entfernung der Turmspitzen vom Brunnen: G beim großen Turm, K beim kleinen Turm.
Es gilt: G + K = 100
Lösungsweg:
Konstruiere 2 rechtwinklige Dreicke, die den Brunnen als gemeinsamen Punkt haben und jeweils eine Turmspitze als 2. Punkt und jeweils den Turm als eine Kathete haben.
Bei beiden Dreiecken ist eine Kathete = x/2 und die andere Kathete ist jeweils die Höhe des Turms, also 40 bzw. 50.
Pythagoras beim großen Turm:
50² + (x/2)² = G²
Pythagoras beim kleinen Turm:
40² + (x/2)² = K²
2 Gleichungen:
(1): 2500 + x²/4 = G²
(2): 1600 + x²/4 = K²
(1) - (2): 900 = G² - K²
Aus "G + K = 100" folgt:
G = 100 - K
G² = 10000 -200K + K²
Einsetzen:
K² + 900 = 10000 -200K + K²
200K = 9100
K = 45,5
G = 54,5
G Einsetzen in (1):
2500 + x²/4 = G²
10.000 + x² = 11881
x² = 1881
x = 43,37
Zur Probe K einsetzen in (2)
1600 + x²/4 = K²
6400 + x² = 8281
x² = 1881
x = 43,37
1) Skizze machen, Abstand Fußpunkt Turm - Brunnen = x
2) Seillänge s = s1 + s2 = 100 m ; s2 = 100 m - s1
3) Zweimal Pythagoras mit x und s1 als Unbekannte
4) Gleichungssystem lösen (x² fällt bei geschickter Lösung sofort raus)
Die Türme stehen 74m voneinander entfernt.