Kann mir jemand bei der aufgabe in mathe helfen (11.klasse Gymnasium)?
8 Antworten
Hallo,
bei Aufgabe b kannst Du entweder die Fläche unter dem Graphen bis zur x-Achse im Intervall 0 und 30 berechnen, indem Du die Stammfunktion
F(t)=-t³/270+t²/6 bildest (C lasse ich hier weg); einmal 30 für t einsetzt und davon F(0)=0 abziehst. In diesem Fall liefert also F(30)=50 schon die Antwort.
Die Pflanze wäre also in 30 Tagen um insgesamt 50 cm gewachsen.
Das ist sicher realistischer, als sich vorzustellen, daß die Pflanze einmal am Tag um einen bestimmten Betrag wächst.
Aber auch ein diskretes Wachstum läßt sich berechnen, wenn Du die Summe von -t²/90+t/3 bildest; und zwar für t=1 bis t=30.
Wer keine Lust hat, 30 Summanden zu berechnen und anschließend zu addieren, bildet die Summenformel.
Sie setzt sich zusammen aus (-1/90) mal der Summe von t² und 1/3 mal der Summe von t.
Diese Summen sind Standardsummen und lassen sich nachschlagen:
Die Summe von t² ist gleich t³/3+t²/2+t/6, während die von t gleich (t/2)*(t+1) ist.
Die komplette Summenformel lautet also (-1/90)*(t³/3+t²/2+t/6)+(1/3)*(t/2)*(t+1)
Einsetzen von t=30 ergibt 49,944 cm, weicht also nur minimal vom Integral ab.
Herzliche Grüße,
Willy
Die minimale Abweichung resultiert aus den Ungenauigkeiten beim Integral. Sie ist bei dieser Anwendungsaufgabe egal. Es waren rein innermathematische Einwände.
Laut Formel wächst die Pflanze am 0. und 30. Tag nicht. Vorschlag: Die Stammfunktionmüsste deshalb für 29 bilden und mit der Stammfunktion von 30 der Mittelwert berechnen.
F(29)=-29³ /270 +29²/6 = 49,837037
F(30) = 50
(50+49,837037)/2 = 49,92
Hm ...passt auch nicht ...
Erster Schritt: v(t) anders schreiben
v(t) = -1/90 *t² + 1/3 *t
a) Scheitel bestimmen/Tiefpunkt bestimmen.
notwendige Bedingung für Tiefpunkt: v'(t)=0
v'(t) = 2*(-1/90)*t + 1/3
dies leicht vereinfachen und dann Null setzen
-2/90 *t + 1/3 = 0 |*90 damit die schrecklichen Brüche wegfallen
-2 t + 30 = 0 |+2t
2t = 30 |:2
t = 15
Nach 15 Tagen ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größen.
b) ist kompliziert.
Ich würde dies mit Tabellenkalkulation berechnen.
Es ist die Summe von t=1 bis t=30 von v(t) = -1/90 *t² + 1/3 *t
Mein Hinweis bezieht sich auch nicht auf diese Frage, sondern darauf, ob dies auch geht, wenn der Definitionsbereich nicht zufällig von den Nullstellen aus geht und "symmetrisch" ist und wenn der Hochpunkt nicht zufällig ein ganzzahliger Wert ist. Sorry, hatte mich nicht genau ausgedrückt.
zu e)
Die Aufgabe ist natürlich inhaltlich sehr seltsam => je mehr Dünger, desto besserer Wachstum?
d=1 wäre kein Dünger und dies führt zu anderem Wachstum als bei a)
Nehmen wir trotzdem diese im Pflanzenbau sehr fragwürdigen Angaben hin und lösen die Aufgabe.
Es muss wieder die Summe gebildet werden, nun für die neue Funktion.
Die Summe von t=1 bis t=30 von d*(-t²/180 + t/6)
Übrigens: Die Summe von d*f(t) = d* Summe von f(t)
[Begründung: d*x + d*y + d*z = d* (x + y +z) ]
Die Summe von t=1 bis t=30 von d*(-t²/180 + t/6) ist also gleich
d* die Summe von t=1 bis t=30 von (-t²/180 + t/6)
Die Summe von t=1 bis t=30 von (-t²/180 + t/6) kann man mit Taschenrechner/Tabellenkalulation berechnen, es ist ein konkreter Zahlenwert. nennen wir ihn s
d*s ist aber nicht 80, sondern 80-14, weil die Pflanze am Tag t=0 schon 14cm groß war.
d*s = 66
d = 66/s
s= 24,97222 (die Hälfte von Aufgabe B)
d = 66/24,97222222
d = 2,6429
s hätte man übrigens auch durch den Vergleich der Funktionsgleichungen bestimmen können.
v(t) = -1/90 *t² + 1/3 *t
f(t) = (-t²/180 + t/6) = v(t)/2
Und die Summe von stets den halben Werten ist auch nur halb so groß.
a) Hochpunkt ausrechnen
b) Wenn v(t)=Geschwindigkeit, dann Stammfunktion=Höhe
-->Stammfunktion V(t) bestimmen, dann Integral von 0 bis 30 (V(30) - V(0)
c) V(30)
d) [V(30) - V(0)]/30
e) Neue Funktion vd(t)=d*v(t) ---> Vd(t) = d*V(t)
Nun setze d*V(30) = 80 und löse nach d
Stammfunktion/Integral gehen meiner Meinung nach nicht, weil es keine wirkliche Funktion ist, sondern es sind einzelne Punkte für jeden Tag!
Laut der Einleitung der Aufgabe gibt v(t) gibt die Wachstumsgeschwindigkeit in cm pro Tag an.
Falls V(t) gebildet werden kann, müssten dort die die 14 cm berücksichtigt werden.
Ich habe aber meine Zweifel, dass in Klasse 11 schon die Stammfunktion/Integrale bekannt sind. Bei mir war das in Klasse 13 (hatte noch G9)
Laut der Einleitung der Aufgabe gibt v(t) gibt die
Wachstumsgeschwindigkeit in cm pro Tag an. Der Begriff
Wachstumsgeschwindigkeit ist schlecht gewählt, es handelt sich um den Zuwachs der Pflanze in cm an diesem Tag. Deshalb ist v(t) laut meiner Anschauung nur für ganzzahlige t definiert. Ein Integral passt meiner Meinung nach nicht.
e) hast du falsch berechnet. Man muss 80cm gleich Integral 0 bis 30 von d*v(t) plus 14cm rechnen und nicht einfach d*v(t)=80 gleichsetzen.
LG
A) Maximum der Funktion berechnen (1. Ableitung < 0) gibt's genug im Netz zu.
B) für t 30 einsetzen
C) wert aus B + 14 rechnen
D) gibt's auch genug im Netz zu zur mittelwertberechnung
E) 80= gleichung , für t wieder 30 einsetzen und nach d auflösen
Oh ja, kam in meiner Antwort etwas falsch rüber, danke für die Korrektur
zu B) Wenn man für t=30 einsetzt, bekommt man den Zuwachs für den Tag 30, nicht für die ersten 30 Tage.
Da kommt die Uhrzeit bei mir durch, dann einfach Sum t 1 to 30 in den Taschenrechner hauen.
Stammfunktion/Integral gehen meiner Meinung nach nicht, weil es keine wirkliche Funktion ist, sondern es sind einzelne Punkte für jeden Tag!