Kann man den Flächeninhalt eines Kreises durch Integral beweisen?
Der Flächeninhalt eines Kreises beträgt ja A = pi * r².
Könnte man diesen auch durch Integral bestimmen, indem man die Kreisgleichung r² = x² + y² z.B. beim Einheitskreis für r=1, also 1 = x² + y² nach y umformt und dann nach x integriert, also y= Wurzel(1-x²) und dann Integral von -1 nach +1. Damit könnte man dann auch noch pi bestimmen. Geht das?
5 Antworten
Hallo Jumi1974,
∫ von -r bis +r √(r^2 - x^2)dx = ½[x√(r^2 - x^2) + r^2·arcsin(x/r)] |von -r bis +r =
½[r·0 + r^2·arcsin(1)] - ½[-r·0 + r^2·arcsin(-1)] = r^2·π/4 + r^2·π/4 = r^2·π/2
Integration des Halbkreises. Die Lösung des Integrales findet man in > Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main, 1993. S. 752> .
Gruß von leierman
A/pi = x^2 + y^2
Weiter komm ich auch nicht.
na klar, nimm den Halbkreis ....
also y=wurzel(x²-1) (nur der positive Anteil) ... das integrieren und dann mal 2, das müsste die Kreisfläche sein, oder?
Nur wenn man das Integral in ein Reihe entwickkell:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integral+%28%281+-x%5E2%29%5E%281%2F2%29dx%29+
Ja, das ist der erste von sehr vielen Algorithmen zur Berechnung der Zahl Pi:
nur im Bereich von -1 bis 1 wird x² - 1 nie positiv, bekommen so einen complexen Flächeninhalt.....