Kann jmd diese Funktionen aufleiten?

Könnte mir jemand diese Funktionen aufleiten ? (Nr.42)

Answer 1

[mihisu]

Bedenke das man entsprechend der Potenzregel zu...

$f(x)=x^{k}$

... die Stammfunktionen...

$F(x)=\frac{1}{k+1}\cdot x^{k+1}+C$

... erhält.

Schreibe die gegebenen Funktionsterme um, sodass du Potenzen von x (statt Wurzeln, etc.) stehen hast, und nutze diese Regel. [Nebenbei evtl. auch noch Faktorregel und Summenregel.]

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Bei Teilaufgabe a) beispielsweise...

$f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}=2\cdot x^{-\frac{1}{2}}$

[Der konstante Faktor 2 bleibt stehen. Die Potenz von x kannst du mit Hilfe der Potenzregel aufleiten.]

$F(x)=2\cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}\cdot x^{-\frac{1}{2}+1}+C$

$F(x)=2\cdot \frac{1}{\ \ \frac{1}{2}\ \ }\cdot x^{\frac{1}{2}}+C$

$F(x)=2\cdot 2\cdot x^{\frac{1}{2}}+C$

$F(x)=4\cdot x^{\frac{1}{2}}+C$

Wenn man möchte, kann man dann evtl. noch die Potenz wieder als Wurzel schreiben...

$F(x)=4\cdot \sqrt{x}+C$

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Für die Berechnung der Integrale musst du dann entsprechend die Grenzen in die Stammfunktion einsetzen und die Stammfunktionswerte entsprechend voneinander subtrahieren.

$\int\limits_{2}^{\infty}f(x)\,\text{d}x$ $=\lim\limits_{b\to \infty }\int\limits_{2}^{b}f(x)\,\text{d}x$ $=\lim\limits_{b\to \infty }(F(b)-F(2))$ $=\lim\limits_{b\to \infty }\underbrace{(\overbrace{4\cdot \sqrt{b}}^{\to\infty}-4\cdot \sqrt{2})}_{\to \infty}=\infty$

$\int\limits_{1}^{0}f(x)\,\text{d}x$ $=\lim\limits_{b\searrow 0}\int\limits_{1}^{b}f(x)\,\text{d}x$ $=\lim\limits_{b\searrow 0}(F(b)-F(1))$ $=\lim\limits_{b\searrow 0}(4\cdot \sqrt{b}-4\cdot\sqrt{1})$ $=4\cdot 0-4\cdot \sqrt{1}=0-4\cdot 1=-4$

Answer 2

[ethan227]

Bei a) und c) solltest Du diesen Regel nutzen, um die Stammfunktion davon zu finden.

$\frac{k}{\sqrt{x}}\ =\ \frac{k}{x^{\frac{1}{2}}}\ =\ k\ \ \cdot\ x^{-\frac{1}{2}},\ \int\ kx^{_{-\frac{1}{2}}}\ =\frac{\ k\sqrt{x}}{\frac{1}{2}}\ =\ 2k\sqrt{x}\ +\ C\$

Ein Beispiel dieser Berechnung kannst Du bei a) sehen, wie es geht.

$\frac{2}{\sqrt{x}}\ =\ \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}=\ 2x^{-\frac{1}{2}}\ =\ \frac{2\sqrt{x}}{\frac{1}{2}}\ =\ 4\sqrt{x}\ +\ C\$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik ist seit langem mein Lieblingsfach.🧮

Answer 3

[evtldocha]

Der Trick bei a und c ist:

$\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}};\ \frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

und bei allen Aufgaben das Potenzgesetz:

$\frac{1}{x^s}=x^{-s}$

Dann kann man stets die Regel

$\int x^s=\frac{1}{s+1}x^{s+1}$

verwenden

Beispiel Aufgabe a) (s = - 1/2; s + 1 = 1/2)

$f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x}}=2\cdot x^{-\frac{1}{2}}\rightarrow\ F\left(x\right)=2\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}\ +C=4\cdot\sqrt{x}+C$