Kann die Basis von einem Unterraum im R³ der Null Vektor sein?
Ich muss die Basis von einem Durchschnitt Zweier unterräume( U1 ∩ U23) finden. U1 = span{u1} und U2 = spann{u2,u3}. Ich habe dann gesagt , das (a,b,c sind Skalare aus R) au1 = b u2 + cu3 .... Bekomme eine Matrix der Form
- u2 u3 -u1
- 1 1 -1 | 0
- -1 0 -1 | 0
- 1 -1 0 |0
Nach dem umformen bekomme ich eine Matrix des Eindeutigen Typs mit der Lösung a=0, b=0 und c=0
=> (0,0,0)^T = Basis von U1 ∩ U23 ? Ist das Richtig?
und ist die Dimension dann 0 oder 1?
2 Antworten
Eine Basis ist eine Teilmenge - somit kann ein einzelner Vektor schon mal keine Basis sein. Höchstens die Menge, die den einen Vektor enthält.
Außerdem muss es möglich sein, durch Linearkombination der Elemente der Basis alle Vektoren des Raums darzustellen. Das geht mit dem Nullvektor nicht.
Der Nullvektor ist zudem eine Linearkombination der Elemente der Basis und daher bereits linear abhängig. Somit kann der Nullvektor niemals Teil einer Basis eines Vektorraums sein.
Siehe dazu https://de.wikipedia.org/wiki/Nullvektor
Ich soll als folge Aufgabe die Dimensionsformel Überprüfen.
Ich weiß was diese ist, jedoch verwirt mich das Wort "Überprüfe".
Soll ich diese auf meine Bassen in der Aufgabe anwenden?
Der Nullvektor kann niemals in einer Basis enthalten sein, weil 0 = 1 * 0 eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors ist. Insbesondere ist keine Familie von Vektoren, die den Nullvektor beinhaltet, linear unabhängig (oder gar eine Basis).
Die Basis, die du suchst, ist die leere Menge.
@MagicalGrill Dimensionsformel für Unterräume dim(U1) + dim(U23) = dim (U1 ∩ U23) + dim(U1 + U23)
Gut, dann berechne dim(U1), dim(U23), dim(U1 + U23) und dim(U1 ∩ U23) und schau nach, ob die Formel passt ;)
Ich soll als folge Aufgabe die Dimensionsformel Überprüfen.
Ich weiß was diese ist, jedoch verwirt mich das Wort "Überprüfe".
Soll ich diese auf meine Bassen in der Aufgabe anwenden?