Orthonormalbasis berechen von drei Vektoren im R3? Wie errechnet man es?
Hallo zusammen.
Ich hoffe jemand kann mir hier helfen .Ich kriege das nicht gebacken.
Gegeben seien die drei Vektoren
u1:= 1/√6 (1,-1,-2) , u2:= 1/√3 (!,-1,1), u3:= 1/2 (√2,√2,0)
Zeigen Sie, dass {u1,u2,u3} eine Orthonormalbasis des R^3 bildet. Stellen Sie anschließend den Vek- tor v:=(2,2,2) als Linearkombination der Basisvektoren dar.
2 Antworten
A. Was genau ist das Problem? Weißt du nicht, wie der Betrag eines Vektors zu bestimmen ist? Oder kannst du eine Skalar- oder ein Kreuzprodukt rechnen?
B. Die Linearkombination
a u1 + b u2 + c u3 = (2 2 2) (wobei a,b,c skalare Faktoren sind)
bekommst du, indem du diese Gleichung als System dreier linearer Gleichungen mit je drei Unbekannten schreibst und mit einem geeigneten Verfahren löst.
C. "Scharf Hingucken" ergibt, dass mit
a/√6 = -b/√3 ⇔ die ersten beiden Koordinaten von a u1 + b u2 sind =0
und c = 2√2 die Lösung dargestellt werden kann (was die Sache erheblich vereinfacht).
Danke vielmals . Ne hab alles geschafft. Ich Idiot hab einfach ein Lambda vergessen mitzuschreiben ;D ;D
Soll sicher heißen
u1:= 1/√6 (1,-1,-2) , u2:= 1/√3 (1,-1,1), u3:= 1/2 (√2,√2,0)
Zu zeigen ist:
(1) | u1 | = | u2 | = | u3 | = 1 (Beträge der Vektoren);
(geht im Kopf, weil der skalare Vorfaktor vor je einem Vektor der Kehrwert desjenigen Betrages ist, den der Vektor ohne Vorfaktor hätte); und
(2) die Vektore sind paarweise orthogonal; das geht
- mit den entsprechenden Skalarprodukten, also u1u2 = u2u3 = u3u1 = 0, oder
- mit Kreuzprodukt, also u1 x u2 = µ * u³, wobei m ein bel. Skalar sein darf.
ja genau hab mich leider vertippt :D