Jacobi Matrix surjektiv und für jeden Punkt genau 3 Urbilder?
Wie kann man zeigen, dass jeder Punkt genau 3 Urbilder hat?
1 Antwort
Der Hinweis gibt dir eine recht eindeutige Richtung vor, wie du die Aufgabe lösen kannst. Dabei wird verwendet, dass man die komplexe Zahlenebene mit R^2 identifizieren kann. Wenn du dir jetzt eine nicht-verschwindende komplexe Zahl, d.h. ein Tupel (a, b) mit a ≠ 0 oder b ≠ 0 vornimmst, was kannst du dann über die Lösungen der Gleichung
sagen? Falls dir da ein paar Grundlagen zum Umgang mit komplexen Zahlen fehlen, schau mal hier nach, insbesondere die dritte Folie.
Du sollst dir Gedanken darüber machen, dass f(x, y) = (a, b) gilt, wenn (x+iy)^3 = a+ib erfüllt ist. Letzteres ist aber einfach eine Gleichung der Form z^3 = w, wobei z und w komplexe Zahlen sind. Um zu zeigen, dass die Funktion in jedem Punkt außer (0, 0) drei Urbilder hat, musst du überprüfen, dass die Gleichung z^3 = w (außer für w=0) drei komplexe Lösungen hat.
Danke musste anscheinend eine Nacht drüber schlafen :)
Ehrlich gesagt stehe ich immer noch ziemlich auf dem Schlauch :(