Diskrete Strukturen?
Sei g R -> R\{1] gegeben durch g(x) = x²/x²+1.
Also, ich hab gezeigt, dass es injektiv ist, aber hab Schwierigkeiten gestoßen, wenn ich zeigen wollte, ob das surjektiv ist.
g surjektiv: x²/x²+1 = y
mehr komme ich leider nicht weiter. Falls jemand mir helfen könnte, wäre ich sehr dankbar
2 Antworten
Die Aufgabe ergibt keinen Sinn.
x^2/x^2 = 1 für alle x ungleich 0.
Somit ist g(x) = 2 für alle x ungleich 0, und für x=0 undefiniert.
Die Funktion ist somit offensichtlich weder surjektiv noch injektiv.
Du hast vermutlich irgendwas falsch abgeschrieben.
Die Klammern deuten an, dass x^2+1 unter dem Nenner steht.
x^2/x^2+1 würde (x^2/x^2)+1 bedeuten, was die Konstante Funktion mit dem Wert 2 ergibt.
Gib also bitte das nächste mal, den richtigen Term an, der auch korrekt geklammert ist.
x^2/(x^2+1) ist weder injektiv noch surjektiv.
Tipps dafür:
Es gilt x^2 = (-x)^2
Und x^2>=0 für alle x
Damit kannst du Beispiele finden, um zu zeigen, dass f weder injektiv noch surjektiv ist.
Außerdem:
"x^2 / x^2 + 1 = x^2 / x^2 + 1 = x^2 = x^2 = d.h x = x "
Ist formal komplett falsch, da du da x^2 / x^2 + 1 = x^2 stehen hast, was offensichtlich nicht für alle x wahr ist
Zunächst einmal ist die Zielmenge „R\{1]“ unverständlich. Kann es sein, dass du ℝ∖{1} meinst?
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Außerdem vermute ich stark, dass du x²/(x² + 1) statt x²/x² + 1 meinst. Denn sonst wäre x²/x² + 1 = 1 + 1 = 2 und damit g eine konstante Funktion mit Funktionswert 2, also insbesondere weder injektiv noch surjektiv.
Also:
Du meinst hingegen wahrscheinlich
Dann brauchst du aber, wenn du das einzeilig am Rechner aufschreibst eine Klammer um x² + 1, damit klar ist, dass das „+ 1“ sich auch im Nenner befinden soll.
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Dann ist es richtig, dass du für die Surjektivität von g zeigen musst, dass es für jedes y ∈ ℝ∖{1} ein x ∈ ℝ mit x²/(x² + 1) = y gibt.
Um entsprechende x-Werte zu finden, kann man versuchen, die Gleichung nach x aufzulösen. Jedoch wirst du an der Stelle Probleme bekommen, wenn du bei x² = ... weiter nach x auflösen möchtest, da die rechte Seite (je nach dem wie groß y ist) auch negativ sein kann. Aber Versuche, da nach x aufzulösen, kann man sich auch gleich sparen, wenn man erkennt...
x²/(x² + 1) ist offensichtlich für alle x ∈ ℝ nicht-negativ. [Denn x² ist nicht-negativ. Und x² + 1 ist größer oder gleich 1, und damit insbesondere positiv. Und der Quotient x²/(x² + 1) ist dann dementsprechend auch nicht-negativ.] Jedoch gibt es andererseits auch negative y-Werte in der Menge ℝ∖{1}. Da es zu diesen negativen y-Werten keine entsprechenden x-Werte gibt, ist g nicht surjektiv.
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g ist übrigens auch nicht injektiv. Denn für x = -1 und x = 1 erhält man jeweils den gleichen Funktionswert 1/2.
Danke für sehr ausführliches Kommentar, aber in der Aufgabestellung steht ohne Klammer also x² / x² + 1
Also steht da wirklich „x² / x² + 1“ so in einer Zeile? Oder ist das nicht doch eher als Bruch aufgeschrieben, so dass x² oberhalb des Bruchstrichs ist und x² + 1 komplett unterhalb des Bruchstrichs ist.
Denn...
x²
——— und x²/x² + 1
x² + 1
... sind unterschiedliche Terme.
Aber wenn du meinst, dass da tatsächlich x²/x² + 1 steht... Dann ist g auch weder injektiv noch surjektiv. Denn g hat dann an jeder Stelle den Funktionswert 2, also beispielsweise für die beiden unterschiedlichen x-Werte x = 1 und x = 2 jeweils den gleichen Funktionswert 2, weshalb g nicht injektiv ist. Und g ist dann offensichtlich nicht surjektiv, da es zu keinem Element der Zielmenge mit Ausnahme des Wertes 2 einen entsprechenden x-Wert gibt. Also gibt es beispielsweise zu y = 0 keinen entsprechenden x-Wert.
jetzt hab verstanden, also x² / x²+1 und nicht x²/x² + 1, also x²+1 ist als Nenner vorgestellt
Ich danke euch wirklich, jetzt mehr oder weniger mithilfe euch hab verstanden, wie ich mit injektiv und surjektiv umgehen kann
hier das ganze Aufgabe
Sei g : R → R \ {1} gegeben durch g( x ) = x^2 / x^2 + 1 . Zeigen Sie, dass g wohldefiniert ist und ermitteln Sie, ob g injektiv oder surjektiv ist. Falls g nicht injektiv oder nicht surjektiv ist, geben Sie ein explizites Gegenbeispiel an. Falls g injektiv oder/und surjektiv ist, beweisen Sie Ihre Behauptung.
x^2 / x^2 + 1 = x^2 / x^2 + 1 = x^2 = x^2 = d.h x = x und daher ist injektiv. Es wäre sehr hilfreich, wenn Du mich noch klar aufklären würdest, wieso ist das nicht injektiv