Bijektivität zeigen durch Verkettung?

f: A -> B

g: B -> C

Verknüpfung g * f (* verkettung) ist bejektiv, dann zeige dass f injektiv und g surjektiv

Wie zeige ich das? Ideen?

Answer 1

[Physikus137]

Es ist ja h = g ∘ f: A → C

h soll bijektiv sein, also insbesondere 

• surjektiv: zu jedem c ∈ C gibt es ein a ∈ A mit h(a) = c. Es ist aber h(a) = g(f(a)) und damit muss auch g: B → C surjektiv sein.
• injektiv: es gibt höchstens ein a ∈ A mit h(a) = g(f(a)) = c. Damit muss auch f:  A → B injektiv sein, denn gäbe es ein b ∈ B mit b = f(a₁) = f(a₂) wäre auch c = g(f(a₁)) = g(f(a₂)) und damit diese Abbildung nicht mehr injektiv.