Ist es möglich, dass eine Funktion sowohl achsensymmetrisch, als auch punktsymmetrisch ist?
Hallo !
Frage steht oben :-)) !
Ein Freund von mir möchte das wissen aber ich weiß die Antwort selber nicht :-))
LG Spielkamerad
5 Antworten
Hallo Spielkamerad! :)
Ja, das ist möglich - die erste Funktion, die mir da einfällt, ist die Sinuskurve. Sagt dir was, oder? Es gilt ja:
=> Achsensymmetrie: f(x) = f(-x)
=> Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x)
Die Sinuskurve - um bei diesem Beispiel zu bleiben - ist an allen NST achsen- und an allen Extremstellen punktsymmetrisch.
Bei der Kosinusfunktion gilt das gleiche, da sie ja umschrieben auch cos(x) = sin(x+pi/2) ist.
Ich hoffe, dass meine knappe Antwort trotzdem etwas weiter geholfen hat :-))
LG ShD
Es freut mich dass du an Sinusfunktionen gedacht hast, die meisten Leute denken in dem Zusammenhang nur an Polynomfunktionen. Ich bin mir sicher dass auch mein Freund Polynome im Sinn hatte als er mir diese Frage gestellt hat.
Okay, ist das jetzt schlecht, dass ich da an die Sinuskurve gedacht habe? :(
Das ist nämlich das einzige, was mir gerade einfällt - aber du hast ja schon viele andere Antworten erhalten...
Nein, das ist gut von dir dass du daran gedacht hast.
Kleiner Einwand: Die Sinuskurve ist in allen Nullstellen punktsymmetrisch und in allen Extremstellen achsensymmetrisch, also genau andersrum.
LG
ich weiß, das hatte ich dem Fragesteller per PN korrigiert ;)
Die Sondefälle für beliebige Achsen und beliebige Punkte haben sich ja geklärt, hier noch etwas für die y-Achse und den Ursprung (ich denke das war das, was du am Anfang gemeint hast, als du die Frage gestellt hast).
Damit eine Funktion zur y-Achse symmetrisch ist, muss sie für alle x die Gleichung f(x) = f(-x) erfüllen. Damit sie zum Ursprung symmetrisch ist, muss sie für alle x die Gleichung f(-x) = -f(x) erfüllen. Eine Funktion, die zur y-Achse symmetrisch und zum Ursprung symmetrisch ist, muss für alle x dieses Gleichungssystem erfüllen, einsetzen der unteren Gleichung in die rechte Seite der ersten ergibt, dass die Funktion f(x) = -f(x) erfüllen muss. Auflösen ergibt, dass nur f(x) = 0 diese Anforderungen erfüllt und damit die einzige Funktion ist, die y-Achsensymmetrisch und punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
LG
Ja, z.B. jede konstante Funktion f(x)=c ist symmetrisch zur y-Achse und zum Punkt (0;c)
Gibt es auch noch andere Funktionen, die symmetrisch zur y-Achse und zum Punkt (0;0) sind?
ist nur punktsymmetrisch; und cos x ist nur achsensymmetrisch :-(
Nein nein, ralphdieter! An allen NST kannst du einen Spiegelungspunkt setzen, durch alle Extrema eine zur y-Achse parallele Achse
Hey,
Ja, dass ist Möglich.
Die Funktion y= x ist z.b.
- punktsymmetrisch zum Ursprung und
- achsensymmetrisch zur achse= y=-x
LG Jasmin
Gibt es auch noch andere Funktionen, die symmetrisch zur y-Achse und zum Punkt (0;0) sind? (abgesehen zu konstanten Funktionen und der Funktion x?
Ich bin überfragt - keine Ahnung..
also die Bedingungen sind ja:
Achsensymmetrie zur y-Achse: f(x) = f(-x)
Punktsymmetrie zum Ursprung (0|0): f(-x) = -f(x)
Wenn eine Funktion beide Symmetrien aufweist würde, muss also gelten
f(-x) = f(x) und
f(-x) = -f(x)
Das würde denke ich nur gelten bei f(x) = 0
Ich weiß nicht, sry.
Fasse einfach Deine beiden Gleichungen zusammen:
[ f(-x) = ] f(x) = -f(x) <=> 2*f(x) = 0 <=> f(x) = 0 (q.e.d.)
Ist möglich
Aber nicht, wenn die Punktsymmetrie zum Ursprung und die Achsensymmetrie zur y-Achse gerichtet ist, oder?
Zum Ursprung nein. Wieso nicht zur y-Achse? Ist egal welche Achse man zum spiegeln nimmt
Vielen Dank für deine Antwort !