Ist die Wurzel einer Zahl immer kleiner als die Zahl selbst?

Betrachte die Funktion x-sqrt(x), wobei x größer oder gleich 0 ist.

Wenn die Funktion positiv ist, ist x größer als die Wurzel von x und wenn sie negativ ist, ist es anders rum.

Nun gilt:

x-sqrt(x)=sqrt(x)*(sqrt(x)-1)

Da sqrt(x) immer größer oder gleich 0 ist, ist die Funktion für 0<x<1 negativ, weil da die Wurzel kleiner als 1 ist. Somit ist da die Wurzel echt größer als x.

Für x>1 ist die Funktion positiv, die Wurzel ist also dann kleiner als x.

(Und für x = 0 und x=1 ist die Wurzel von x gleich x)

Nein, z. B. ist die Wurzel aus 0,25 0,5.

Im Bereich der natürlichen Zahlen ist das außer bei 0 und 1 so.

Nein, da

   

qed

Ist die Wurzel einer Zahl immer kleiner als die Zahl selbst?

Nein.