Ist die Realität Paradox?
Ist die Realität also der Kern der Natur Paradox?
Ist die Mathematik Paradox ?
1 Antwort
Ein Paradoxon (auch das Paradox […]) ist ein Befund, eine Aussage oder Erscheinung, die dem allgemein Erwarteten, der herrschenden Meinung oder Ähnlichem auf unerwartete Weise zuwiderläuft oder beim üblichen Verständnis der betroffenen Gegenstände bzw. Begriffe zu einem Widerspruch führt. (nach Wikipedia)
Ist die Realität Paradox?
In der Realität gibt es viele paradoxe Phänomene. Beispielsweise wird ein Raumschiff, dass in einem Orbit kreist, beim Beschleunigen langsamer und beim Abbremsen schneller (etwas vereinfacht, aber im Prinzip völlig korrekt).
Ist die Mathematik Paradox ?
Das hängt wohl davon ab, welche Erwartungen man im Bereich der Mathematik hat. Seit über 2000 Jahren kennt man irrationale Zahlen, die ihren Namen daher haben, dass sie den Erwartungen der alten Griechen über die Natur »der« Zahlen widersprachen.
Vielleicht wird es ja als Paradox empfunden, dass es genauso viele natürliche Zahlen (1,2,3,4, …) wie Quadratzahlen (1,4,9,16, …) gibt - das hängt natürlich damit zusammen, dass es um unendliche Mengen geht. Aber zu jeder unendlichen Menge gibt es eine echt größere Menge, so gibt es mehr irrationale als rationale Zahlen. Mit anderen Worten: Es gibt unendlich verschieden große Unendlichkeiten!
Aber vielleicht meinst du ja was Anderes?In der Mathematik gab es den Versuch, sie vollkommen logisch aufzubauen. Unter anderem hat Bertram Russell versucht, die gesamte Mathematik auf der Grundlage möglichst weniger Axiome aufzubauen.
Dann hat aber Kurt Gödel gezeigt, dass es in jedem hinreichend komplexen formalen Axiomensystem sinnvolle Sätze gibt, die sich aus den Axiomen weder beweisen noch widerlegen lassen, man kann also eine entsprechende mathematische Theorie dadurch weiter ausbauen, dass man entweder das Axiom hinzufügt, dass so ein unentscheidbarer Satz wahr ist, oder eben, dass er falsch ist. Aber auch in dieser erweiterten Theorie gibt es dann wieder Sätze, die unentscheidbar sind.
Schlimmer: Der zweite Unvollständigkeitssatz von Gödel besagt, dass in einem hinreichend mächtigen formalen System nicht bewiesen werden kann, dass es widerspruchsfrei ist - man braucht ein noch mächtigeres (komplexeres) System, um die Widerspruchsfreiheit dieses Systems zu beweisen. Womit sich die Frage stellt, ob das noch komplexere System eigentlich widerspruchsfrei ist …
Also kann man nicht beweisen, dass »die Mathematik« ohne Widersprüche ist. Man kann nur Teilgebiete der Mathematik angeben,m deren Widerspruchsfreiheit bewiesen ist (auf anderer Teilgebiete, die möglicherweise das untersuchte Teilgebiete mit einschließen).
Das ist gewissermaßen die mathematische Variante des »Münchhausen-Trilemmas«: Wer strikt logisch denkt, muss von unbewiesenen Denkvoraussetzungen ausgehen. Wer »nichts glaubt«, also keine unbewiesenen Voraussetzungen für seine logischen Schlüsse hat, der denkt irgendwo nicht logisch.
Hoffe das hilft.