Integralrechnung Fahren mit einem Heißluftballon?
Kann mich jemand bei diesen Aufgaben unterstützen?
3 Antworten
a)
Sie h(t) die Höhe auf der sich der Ballon befindet. Die Geschwindigkeit folgt als Änderung der Höhe zu:
v(t) = dh/dt
Die Höhe nimmt dabei zu wenn gilt: dh/dt = v > 0 , und ab wenn gilt: dh/dt = v < 0. Diese Intervalle sind direkt aus dem Graphen abzulesen:
v > 0 auf (0, 42)
v < 0 auf (42, 60.5)
b)
Mit v(t) = dh/dt folgt entsprechend durch Integration:
h(t) - h(0) = Int[0, t]{ dh/dt dt } = Int[0, t]{ v(t) dt }
Somit erhalten wir die Höhe zu einem Zeitpunkt t zu:
h(t) = h(0) + Int[0, t]{ v(t) dt }
wobei h(0) die Höhe zu Beginn der Beobachtung bei t = 0 ist. Da die Höhe bis t = 42 stetig zunimmt und danach ab, liegt der Punkt maximaler Höhe bei t = 42 vor. Um die maximale Steighöhe zu bestimmen gilt es also das Integral:
Int[0, 42]{ v(t) dt }
zu berechnen. Dieses entspricht gerade der Fläche zwischen dem Graphen von v(t) und der x-Achse. Diese Fläche lässt sich hier per Hand durch einfache geometrische Formen wie Trapeze, Dreiecke, etc. approximieren. (Eine exakte Rechnung sollte hier eigentlich nicht notwendig sein)
Es gilt also:
A = Int[0, 42]{ v(t) dt }
entsprechend folgt h_max, die maximale Höhe zu:
h_max = h(t = 42) = h(0) + A
c)
Da die Gesamtfläche zwischen dem Graphen von v(t) nicht gleich 0 ist. (Beachte: Liegt die Fläche zwischen Graph und x-Achse "unterhalb" der x-Achse, so ist diese Fläche negativ zu zählen)
Es folgt also hier:
h(t = 60.5) = h_ende = h(0) + Int[0, 60.5]{ v(t) dt }
= h(0) + Int[0, 42]{ v(t) dt } + Int[42, 60.5]{ v(t) dt }
mit Int[0, 42]{ v(t) dt } = A , aus b), und Int[42, 60.5]{ v(t) dt } = - B, wobei B dem Betrag der Fläche des Graphen von v(t) mit der Achse über dem Intervall [42, 60.5] entspricht. Diese Fläche ist analog wie in b) zu bestimmen. Es folgt also final:
h_ende = h(0) + A - B
Entsprechend folgt die Höhendifferenz dh zwischen Anfang (h(t = 0)) und Ende (h(t = 60.5) zu:
dh = h_ende - h(0) = A - B > 0
a) v > 0, v< 0
b) und c) Flächeninhalte unter dem Graphen abschätzen und verrechnen.
b) verstehe ich nicht, die maximale Höhe ist bei ca. 42 min,
aber wie oll man das Integral ausrechnen, ohne
die Funktion zu kennen?
Und warum schreibt sogar ein Text für die
Schule "Sie" konsequent klein?
Und heißt eine Schulklasse inzwischen "Plenum"?
Wieviele Schüler kennen dieses Wort noch?