Aufgaben zur Integralrechnung. Wer kann mir beim Lösungsweg helfen?
Hallo, ich habe hier drei Aufgaben zur Integralrechnung. Aufgabe 3 konnte ich ohne Probleme lösen, aber bei 1 und 2 liegt mir zwar die Lösung vor(steht hinter der Aufgabe), allerdings bekomme ich das nie raus. Ich weiss nicht, wie ich mit dem x-1/x^2 und (2+x)^2 verfahren muss. Ich habe echt alles versucht, ich rechne mich hier dumm und dämlich, kann mir hier vielleicht einer bei dem Lösungsweg helfen? Ich hab leider echt ne Menge von diesen Aufgaben, und ich wünschte, es wären alle so leicht wie die dritte. Aber es muss doch ähnlich funktionieren!? Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen würde.
3 Antworten
bei 2) einfach das selbe machen wie du bei 3) gemacht hast :D
sprich in die "Aufleitung / Stammfunktion" für dein x die Grenzen einsetzen:
(1/3*(2+0)^3)-(1/3*(2-2)^3) = 8/3
1) selbe:
-> 1/2*2^2+2^(-1)-(1/2*1^2+1^(-1)) = 1
Lg Tobi
Nungut, ich werde mein bestes geben, um dir mit meinem eher eingerosteten Oberstufenwissen (wenn auch erst 1/2 Jahr her), hoffentlich verständlich, das ganze Geraffel zu erklären. (wenn cih es selbst überhaupt hinbekomme :D)
Wenn du ableitest sieht das ja wie folgt aus:
x^y wird zu y*x^y-1 ,Bsp.: 3^5 -> (5*3)^4
beim Aufleiten musst du in die andere Richtung vorgehen:
also aus:
x^y -> (1/y+1)*x^y+1 hier: (2+x)^2 -> (1/(2+1))*(2+x)^(2+1) = 1/3*(2+x)^3
hoffe du verstehst meine Erklärung, falls nicht immer her mit den Fragen ;)
Lg Tobi
(1/(2+1))*(2+x)^(2+1)
Du hast das sicher richtig gut erklärt, aber ich versteh es leider trotzdem nicht. Was du da geschrieben hast, ist schon einleuchtend. Aber wo kommt die 1 vorne her?
okay nächster versuch :D
diesmal von der anderen Seite. Stell dir vor du leitest die Aufleitung ab.
1/3(2+x)^3 (= die Aufleitung)
-> Falls nun keine 1/3 vor der Funktion stehen würde passiert folgendes
Ableitung von (2+x)^3 (also die Aufleitung ohne das 1/3 davor) -----> 3*(2+x)^2
Aber es soll ja (2+x)^2 rauskommen. Deshalb musst du dir überlegen welcher Faktor davor stehen muss.
und damit die 3 vor der Klammer verschwindet musst du sie logischerweise mit etwas multiplizieren damit es 1 ergibt.
-> 1/3
Schlussfolgerung:
wenn du eine x^y hast das du aufleiten willst dann musst du vor diese Zahl (falls dort nicht schon ein anderer Faktor steht) eine Zahl schreiben die den Faktor, der beim Ableiten der aufgeleiteten Funktion entsteht neutralisiert. Dies ist bei x^y (wenn vor dem x keine zahl steht wie z.b. 2x oder 2,5x oder 1,75x) immer 1/y+1.
Daher kommt die 1 nach der du gefragt hast.
Du schreibst also quasi vor dein x einfach einen Bruchstrich. Über den Bruchstrich, also den Zähler kommt eine 1 und unter den Bruchstrich, also in den Nenner, kommt die Hochzahl+1. (Dies gilt wieder nur wenn vor dem x kein anderer Faktor steht, ansonsten musst du in den Zähler Faktor der vor dem x steht und in den Nenner Hochzahl+1)
Hoffe du verstehst es jetzt, wenn nicht lass ich mir was neues einfallen ^_^
Lg Tobi
Vielen Dank. Ich glaube, ich habs verstanden. Ich finde es jedenfalls sehr nett von dir, dass du dir so eine Mühe machst, um mir das zu erklären. Ich bin sicher, du hast in deiner Schulzeit den Matheunterricht gerockt. ;)
<.< Öhm ging so. 10 Punkte hatte ich im Abi wenn ich mich recht entsinne. Freut mich auf jeden Fall dass ich dir helfen konnte :)
1.)
∫ (x - 1 / x ^ 2) * dx
Dafür kannst du auch schreiben -->
∫ (1 * x ^ 1 - 1 * x ^ (-2)) * dx
Das ist deshalb so, weil du immer für 1 / x ^ m schreiben kannst x ^ (-m)
Nun gilt folgende Regel -->
∫ k * (x ^ m) * dx = k * (1 / (m + 1)) * x ^ (m + 1) + C
Wobei m und k für eine beliebige Zahlen steht.
Nun wendest du diese Regel auf deinen Ausdruck an -->
∫ (1 * x ^ 1 - 1 * x ^ (-2)) * dx = 1 * (1 / (1 + 1)) * x ^ (1 + 1) - 1 * (1 / (-2 + 1)) * x ^ (-2 + 1) + C
Das kannst du noch vereinfachen jetzt -->
1 * (1 / (1 + 1)) * x ^ (1 + 1) - 1 * (1 / (-2 + 1)) * x ^ (-2 + 1) + C = (1 / 2) * x ^ 2 + x ^ (-1) + C
(1 / 2) * x ^ 2 + x ^ (-1) + C = (1 / 2) * x ^ 2 + 1 / x + C
Die Integralgrenzen kannst du jetzt selber mal ausrechnen.
Zwei Tipps:
1/x^2=x^(-2) und
(2+x)^2=4+4x+x^2
Probier es jetzt nochmal. Und wenn es nicht geht, helfe ich dir gerne!
LG Leon
Erstmal danke für deine Hilfe, aber ich kapiers nicht :(
Sind die beiden Aufgaben denn so anders als die dritte?
Nein eigentlich nicht. Du musst nur die Ausdrücke vorher umformen. Weil 4+4x+x^2 kannst du ja z.B. ganz einfach integrieren.
Vielen, vielen Dank. Ich glaub es selber noch nicht, aber ich habs verstanden. :)
Eine Sache kann ich mir noch nicht erklären. Da ich die Lösung ja schon hatte, musste ich ja nicht selbst aufleiten. Und jetzt frage ich mich, wie aus den (2+x)^2 die [1/3(2+x)^3] wurde. Also genauer gesagt, ich weiss nicht wie die 1/3 entstanden ist.
Vielleicht hast du ja Lust, mir das auch noch zu verraten?!