ich weiß, was ein supremum ist, was ein infinumum ist, aber was meint man mit nach oben beschränkt oder nach unten beschränkt?
Wir haben eine Teilmenge A
in der ist das Element u nach oben / unten beschränkt, was heißt das?
Und das element u sei beschränkt, wenn es nach oben und unten beschränkt ist, was ist damit gemeint? Außerdem, wenn das nicht vorleigt, sei u unbeschränkt, was genau ist mit diesem beschränkt etc. gemeint?
2 Antworten
Nach oben beschränkt heißt, dass es mindestens eine obere Schranke s gibt, sodass alle Elemente der Menge kleiner als s sind. Zum Beispiel die Menge aller reellen Zahlen zwischen 1 und 3, {x aus R: 1<x<3}, hat als obere Schranke 3. Theoretisch wäre aber auch 4 eine obere Schranke, oder 27, da trotzdem alle Elemente der Menge kleiner sind. Analog verläuft es mit der unteren Schranke. Beispielsweise sind die natürlichen Zahlen nach unten beschränkt, aber nicht nach oben. Das Supremum ist dementsprechend die kleinste oberere Schranke und eindeutig bestimmt. Bei dem Beispiel vorher wäre es die 3. Es muss für das Supremum x gelten, dass alle oberen Schranken s größer/gleich das Supremum sind, x≤s. Analog verläuft es mit dem Infimum. Zuletzt kann eine Menge noch ein Maximum und ein Minimum haben.
Wenn das Supremum in der Menge enthalten ist, dann ist es auch das Maximum, und wenn das Infimum enthalten ist, ist es auch das Minimum. Das Beispiel vorher hat kein Maximum oder Minimum. 1 und 3 sind nicht in der Menge enthalten. Wenn man aber {x aus R: 1≤x≤3} nimmt, dann hat es wiederrum ein Minimum und Maximum, 1 und 3.
Beschränkt heißt, dass es eine Schranke gibt, die niemals unterschritten (/überschritten) wird.
Ein Supremum ist wie ein Maximum, nur dass es nicht Teil der Menge sein braucht.
Also ist jedes globale Maximum ein Supremum.
Beispiel: |1/x| hat kein Minimum, aber ein Infimum. y = 0 ist die größte untere Grenze, die die Funktion niemals unterschreitet. Der Wert wird jedoch nie angenommen, da durch 0 nicht dividiert wird.
Da die Funktion aber nur nach unten beschränkt ist, weil die Funktionswerte nahe x = 0 ins Unendliche wachsen, ist die Funktion als Ganzes betrachtet unbeschränkt. Sie wäre nur beschränkt, wenn es eine obere und eine untere Schränke gäbe.