Frage von xdummeskind, 101

Höhe eines regelmäßigen Tetraeders berechnen?

Hi, wir arbeiten in der Schule gerade an einem Projekt und ich komme gerade gar nicht weiter. :D

Also mein Partner und ich sollen die Werte eines regelmäßigen Tetraeders ausrechnen, haben aber nur die Seitenlänge. Jede Seite beträgt bei uns 20,5 cm.

Jetzt will ich die Höhe ausrechnen, habe schon nach 1000 verschiedenen Formeln gesucht, aber keine gefunden. Die einzige Formel die mir sinnvoll erscheint ist a/3 * √6 aber es gibt doch bestimmt noch andere, oder?

Kann man die Höhe mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen? Wenn ja, wie? Muss ich zu erst vielleicht was anderes ausrechnen? :D

Ich wäre für jede Antwort dankbar. :)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 71

Das geht mit dem Pythagoras.
Um es ganz genau zu sagen, du meinst auch Kantenlänge statt Seitenlänge. Denn das ist nicht grundsätzlich dasselbe. Jede Formelsammlung verrät dir den Zusammenhang zwischen Kantenlänge und Körperhöhe h. Wenn du h dazu sagst, darfst du die Seitenflächenhöhe nicht mit demselben Buchstaben belegen!

Nun zur Sache selbst. Ich habe eigentlich keine Meinung, dies genau durchzuführen, weil du die Mitte der dreieckigen Grundfläche brauchst, um dort eine Körperhöhe zu errichten. Mit diesem Innenschnitt, auch ein rechtwinkliges Dreieck, bekommst du per Pythagoas mit einer Außenkante diese Höhe. Das ist eine Menge Rechnerei.

Wie kommt man auf die Mitte der Grundfläche. Den Mittelpunkt bildet der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Verhältnis 2/3 : 1/3.

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind das aber auch die Mittelsenkrechten und die Höhen der Seiten, sodass wir da wieder mit Pythagoras arbeiten können.

Zum Schluss kommt es dann auf: h = a/3 √6 .

Ich kenne keine andere vergleichsweise einfache Formel dafür.

Genau nachvollziehen kannst du es in diesem Link:

http://www.mathematische-basteleien.de/tetraeder.htm

Antwort
von Geograph, 42

"Die einzige Formel die mir sinnvoll erscheint ist a/3 * √6 aber es gibt doch bestimmt noch andere, oder?"

Nein, es gibt keine andere!

Zur Herleitung:
Die Grundfläche eines regelmäßigen Tetraeders (und auch alle anderen Flächen) ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Kantenlänge a und den Innenwinkeln 60°.
Die 3 Mittelsenkrechten m sind gleich, schneiden sich im Mittelpunkt M und teilen den Innenwinkel in zwei 30°-Winkel

m ist eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, die zweite Kathete ist a/2, die Hypotenuse a

Mit dem Pythagoras: a² = m² + (a/2)²  bekommt man m = √3 ∙ a/2

Der Mittelpunkt M teilt jede Mittelsenkrechte m in zwei (ungleiche) Teile x und y, (m = x + y). Diese sind wiederum Hypotenuse x und Kathete y eines rechtwinkligen Dreiecks, die zweite Kathete ist a/2 und gleichzeitig Ankathete am 30°-Winkel. Nun weiß man, daß der sin(30°) = 0,5 ist, also ist das Verhältnis von y/x = 0,5. Mit y = m – x ist x = 2/3 ∙ m = a / √3

Die Kantenlänge a, die Höhe h und die eben ausgerechnete Strecke x bilden wiederum ein rechwinkliges Dreieck, der Pythagoras dazu ist
a² = x² + h² >> h² = a² - (a / √3)² >> h² = 2/3 ∙ a²

h = √(2/3) ∙ a oder auch h = √6 ∙ a/3

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 39

Hallo,

ein regelmäiges Tetraeder besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken.

Du mußt zunächst die Höhe eines dieser Dreiecke berechnen und halbieren:

a=20,5 cm

a/2=10,25 cm

h²=a²-(a/2)²=20,5²-10,25²=315,19

h=17,75

h/2=8,88

Nun kannst Du die Höhe des Tetraeders berechnen:

H²=a²-(h/2)²=20,5²-8,88²=341,4

H=18,48 cm

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Geograph ,

"h/2=8,88"

Hier beginnt leider Dein Fehler, denn die zu dem rechtwinkligen Dreieck a (Hypotenuse) und H (Kathete) gehörige 2. Kathete ist

nicht h/2

, sondern

2h/3

und die

Höhe damit

H = 16,73cm
Kommentar von Willy1729 ,

Jau. Ich hatte nicht daran gedacht, daß die Höhen hier gleichzeitig die Seitenhalbierenden sind und sich so im Verhältnis 1:2 teilen. Ich brauche ja den Mittelpunkt des Umkreises, der genau unter der Spitze steht.

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