Hochpass als Differenzierer?
Bei welcher Frequenz kann der Hochpass als Differenzierer eingesetzt werden? Bei der Grenzfrequenz?
2 Antworten
Präzisiere doch einfach Deine Frage! Ein Hochpass ist ein passives Element, daß ab der Grenzfrequenz 70% des Eingangssignals durchlässt... mit steigender Frequenz oder Spannung wird das Ausgangssignal natürlich größer. Ein Differenzierer trennt mit einem Kondensator, der einem Operationsverstärker vorgeschaltet ist, Gleichanteile von Wechselanteilen... aktiv. Das heißt, die Ausgangsspannung wird über den OP erzeugt und mittels Verstärkungsfaktor Rk/Re eingestellt.
Mfg
Hmm also ich habe mal die Differentialgleichung für einen TP1.O aufgestellt, fouriertransformiert und bissl rumgespielt. Rausgefunden habe ich dass man aus einem RC-Hochpass keinen Differenzierer machen kann. Dazu müsste wRC null werden, dann differenziert er aber auch nicht mehr. Was aber geht:
w oder R oder C sehr klein werden lassen, oder R*C sehr klein werden lassen. Dann gilt für alle w dass sich das Gerät hinreichend wie ein Differenzierer verhalten wird.
Leider habe ich die "Norm" nicht mehr im Kopf, ab wann dies der Fall ist. Jedenfalls muss die Frequenz hier deutlich unterhalb der Grenzfrequenz liegen. Das ist exakt das Gegenteil vom Integrierer mit RC-Schaltung. Dort musste man ihn weit oberhalb der Grenzfrequenz betrieben, damit das RC-Ladeverhalten hinreichend klein war.
Bei der Eckfrequenz ist eine Differenz von 3dB vorhanden. Das wäre Faktor 100, das könnte hinhauen!
Du müsstest also das Gerät höchstens an seiner Grenzfrequenz betrieben, eher darunter.
Ganz 100% sicher bin ich mir jetzt nicht.
Also für alle nachfolgenden Leser in korrekter Form:
Differenzierer: Frequenz muss klein gegenüber der Grenzfrequenz sein. Anders: Die Zeitkonstante des Hochpasses muss klein gegenüber der Periodendauer des zu differenzierenden Signals sein.
Berechnen kann man das im Frequenzbereich, indem man sich die komplexe Übertragungsfunktion ansieht:
G(jw) = jwRC / (1 + jwRC)
Jetzt ist die Grenzfrequenz eines HP und eines TP natürlich auch gerade: w_g = 1 / RC.
Damit man untersuchen kann welche Frequenz gegenüber der Grenzfrequenz nun geeignet ist, setzt man diese Grenzfrequenz in G(jw) ein:
G(jw) = j(w/w_g) / (1 + j (w / w_g))
Nun sieht man Folgendes:
Lasse ich w_g sehr groß werden, wird j (w / w_g) sehr klein gegenüber der + 1.
Die Ü-Funktion eines idealen Differenzierers lautet:
G(jw) = j(w/w_g)
Für große w_g fällt der j-Term unten quasi weg und die 1 bleibt stehen. Naja, irgendwas durch 1 zu teilen ist das was ich teile selbst.
Zwar ist jetzt der Zähler auch sehr klein, aber noch vorhanden. Übrig bliebe also als Näherung:
G(jw) = j(w/w_g) mit großen w_g gegenüber w. Die Funktion des RC-Hochpasses geht also für große w_g in die Funktion eines ideale Differenzierers über.
w = w_g ist also nicht sinnvoll, lieber deutlich größer! Wieviel größer ist einem selbst überlassen. Je größer, desto mehr wird das System zum idealen Differenzierer. f_g = 10 * f könnte z.B. schonmal ein guter Ansatz sein.
Wie funktioniert die Sache nun und warum muss das so sein?
Rechtecksignal:
Es wird eingeschaltet. Der Kondensator lädt sich. Solange der Ladestrom fließt ist die Spannung über R verschieden von 0.
Je schneller der Kondensator lädt, desto besser! Denn man will ja nur die Spannungsänderung des Kondensator sehen, die sich durch den Stromfluss den er verursacht über dem R ergibt. Wenn man nur das sehen würde, bekäme man an den Flanken des Rechtecksignals kurze Spitzen. Wunderbar, so sieht die 1. Ableitung des Rechecksignals aus.
Damit der Kondensator sich schnell laden kann braucht er ein kleines R und ein kleines C oder nur eines von beidem.
Immer dann wenn die Spannung des Eingangssignales sich ändert wird er flink geladen. Seine aktuelle Ladung sieht man am R nicht. Die Spannung über dem R ist nur proportional der Ladungsänderung (also der 1. Ableitung).
Wird die Zeitkonstante zu groß gewählt dann dauert es zu lange bis der Kondensator geladen und der Strom abgeklungen ist. Wärend dann das Rechtecksignal bereits z.B. 1V hat, würde der Kondensator noch laden und seine Ladungsänderung würde einen Strom durch R erzeugen. Wärenddessen würde man also den Ladeverlauf anhand der Spannung sehen können. So sieht eine Differentiation ja nicht aus. Im Prinzip bescheißt man also und macht sein Signal so langsam, dass sich die Lade- und - Entladekurven links und rechts an die Seiten des Rechtecksignals verschieben und bei positiver oder negativer konstanter Spannung (also 99% des Rechecksignals) entladene Zustände des Kondensators darstellen.
Da solch eine Zeitbetrachtung immer relativ ist kann ich also entweder sagen:
- Signal zum differenzieren sehr langsam machen gegenüber dem System
oder:
- System sehr schnell machen.
Geht also beides.
Ich hoffe ich konnte helfen!
Wenn man es genauer betrachten möchte:
LT-Spice runterladen, aufbauen und durchprobieren.
Zack und schon ist es passiert. Ich habe Zeitkonstante und Frequenz vertauscht.
Es muss natürlich lauten:
Du müsstest also das Gerät mindestens an seiner Grenzfrequenz betrieben, eher darüber.