hilfe verstehe aufgabe nicht
hey liebe community wir haben in mathe einige übungsaufgaben für die arbeit bekommen aber leider verstehe ich die eine nicht ich weiß auch nicht wie ich im interenet danach suchen soll also für die jenigen die mir helfen wollen die aufgabe:
-
- Denke dir eine beliebige natürliche zahl
- Bilde ihren vorgänger und ihren Nachfolger
- Subtrahiere das Quadrat des Vorgängers von Quadrat des Nachfolgers
- Nenne mir das ergebnis*
***Chrissy nennt Peter als Ergebnis ihre Rechnung die Zahl 116 Darauf entgegnet peter ihr schlagartig das sie an die zahl 29 gedacht hat
Aufgabe ist jetzt das zu überprüfen.*
9 Antworten
Ich halte den Ansatz von tinafritz und von ProRatione für weiterführend, aber der ist unvollständig dargestellt.
Bei tinafritz steht:
Denke dir eine beliebige natürliche zahl -> x
Bilde ihren vorgänger und ihren Nachfolger -> x-1 und x+1
Subtrahiere das Quadrat des Vorgängers von Quadrat des Nachfolgers -> (x+1)²-(x-1)²
. . .
Ergänzung:
(x +1)² - (x-1)² =
- und 2. binomische Formel:
x² +2x +1 - (x² -2x +1) =
x² +2x +1 - x² +2x -1 =
4x (der Rest fällt weg).
Also ist für jede ganze Zahl x die Differenz
- "Quadrat des Nachfolgers ( = (x+1)²) minus
- Quadrat das Vorgängers ( = (x-1)² )"
- immer das Vierfache dieser Zahl ( = 4x).
Das war zu überprüfen.
Vorgänger von 29 ist 28.
Nachfolger von 29 ist 30.
29 zum Quadrat = 784. 30 zum Quadrat = 900.
900 - 784 = 116
die Zahl ist x
Vorgänger x-1 und Nachfolger x+1
deren Quadrate: (x-1)² und (x+1)²
also x²+2x+1 - (x²-2x+1)
das ergibt 4x
4x = 116
x= 29
Und Crissy hat recht. Durch Auflösung der beiden Binome kommt man für die eine Seite der Textaufgabe immer auf 4x. Das Ergebnis der Textaufgabe ist also immer das 4Fache der gedachten Zahl. In diesem Fall das Vierfache von 29, und das ist 116.
Und das ist auch der Grund, warum Chrissy die Lösung ohne lange Rechnung sofort sagen kann.
Die Lösung steht ja schon in den Antworten unten, dass hier wäre der mathematische Beweis wen du das brauchst :)
116 = y^2 - x^2 x = z + 1 y = z - 1
Also 116 = (z-1)^2 - (z+1)^2
Also 116 = z^2 - 2z + 1 - z^2 - 2z - 1
Also 116 = -4z D.h. Z = 116/4 = 29
Mir fällt leider gerade nicht ein wie Ichs einfacher erklären könnte :D
Lg
Egal welche Zahl du dir ausdenkst: die genannte Zahl durch 4 dividieren ergibt die gedachte Zahl. 116/4 =29
Warum das so ist kann man leicht zeigen, wenn man für die Aufgabe eine Formel erstellt:
y=(x+1)^2 - (x-1)^2
--> x = y/4 (x = gedachte Zahl; y = genannte Zahl)