Hilfe bei einer Stochastikaufgabe?

Bei einem Multiple Choice-Test mit 30 Fragen werden vier Antwortmöglichkeiten pro Frage vorgegeben von denen eine richtig ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man die angegebene Anzahl an Fragen durch zufälliges Antworten richtig beantwortet?

A) mehr als 5

B) mehr als 10

C) weniger als 5

D) mindestens 5, aber höchstens 11

Ich verzweifle hier gerade, und schreibe morgen Klausur, ich wär dir echt dankbar wenn du mir die Aufgabe erklären kannst.

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

bei einer solchen Aufgabenstellung - es gibt jeweils nur zwei Ergebnisse, die sich gegenseitig ausschließen, nämlich richtig oder falsch, und die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort ist bei allen Fragen gleich - geht es um eine Binomialverteilung.

Die Formel wurde Dir bereits im Link der anderen Antwort gegeben:

P (k)=(n über k)*p^(k)*(1-p)^(n-k)

n ist hier 30, k ist die Anzahl der richtigen Antworten, p ist die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort, also 1/4 oder 0,25.

Wenn Du ausrechnen willst, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau drei Fragen von den 30 richtig beantwortet wurden, rechnest Du (30 über 3)*0,25^3*0,75^27, denn drei Antworten sollen richtig sein, die anderen 27 falsch. Den Binomialkoeffizienten 30 über 3 brauchst Du, weil es 30 über 3 Möglichkeiten gibt, wie sich drei richtige Antworten unter insgesamt 30 Antworten verteilen können, denn die richtigen müssen ja nicht gleich die ersten drei sein.

Den Binomialkoeffizienten bekommst Du auf dem Taschenrechner über die nCr-Taste:

30 nCr 3=4060, es gibt also 4060 Möglichkeiten, wie sich drei Antworten unter 30 verteilen können, wobei die Reihenfolge der drei Antworten hier keine Rolle spielt, sondern nur, welche von den 30 Fragen richtig beantwortet wurden: Zum Beispiel Frage Nr. 2, Nr. 13 und Nr. 19.

Bei Deinen Aufgaben geht es aber nicht einfach darum, die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Zahl von richtigen Antworten herauszufinden, sondern zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit dafür, mehr als fünf Fragen falsch zu beantworten.

Hier ist der Treffer also die falsche Antwort, die eine Wahrscheinlichkeit von 0,75 hat.

k ist also die Zahl der falschen Antworten, n bleibt 30 und p ist 0,75.

Mehr als fünf falsche Antworten ist das Gegenereignis von höchstens fünf falschen Antworten.

Du addierst also die Wahrscheinlichkeiten für 0 bis 5 falsche Antworten, also für k=0 bis k=5, und ziehst das Ergebnis von 1 ab. 1 ist das sichere Ereignis, also das Vorliegen von 0 bis 30 falschen Antworten; irgendeins dieser Ergebnisse tritt auf jeden Fall ein.

Wenn Du 0 bis 5 falsche Antworten davon abziehst, bleibt die Wahrscheinlichkeit für mehr als fünf falsche Antworten übrig.

Du kannst die Wahrscheinlichkeiten für k=0 bis k=5 entweder einzeln berechnen und addieren oder Du hast eine Tabelle oder ein Programm für die kumulierte Binomialverteilung, das automatisch von 0 bis k aufaddiert. In diesem Fall geht es schneller.

Herzliche Grüße,

Willy