Graph auf der x-Achse verschieben?
Man soll herausfinden, inwiefern sich f(x) verändert, wenn man stattdessen f(x-c) einsetzt, und wir haben aufgeschrieben, dass der Graph sich lediglich auf der x-Achse verschiebt, aber wie kann man das beweisen?
5 Antworten
Nehmen wir ein konkretes Beispiel: f(x) = x^2 und wir betrachten f(x-5) = (x-5)^2.
Wenn ich in f(x) den x-Wert x=2 einsetze, bekomme ich als Funktionswert f(2)=2^2=4 heraus.
Welchen x-Wert muss ich dafür in f(x-5) einsetzen? Nun, das müsste ja dann x=7 sein, denn dann ist f(7-5)=f(2)=4. Ich bekomme also jeden Funktionswert raus, wie auch bei f(x), ich muss lediglich ein anderes x dafür einsetzen und zwar eins, das um 5 verschoben ist (so wie 7 sich aus der 2 ergibt, wenn man sie um 5 verschiebt).
Insgesamt verschiebt sich so der gesamte Funktionsgraph um 5 entlang der x-Achse.
Wie ist eine Verschiebung definiert?
Vielleicht geht es am einfachsten, wenn man Verschiebungen von Punkten als Vektoren darstellt.
Definieren wir die Funktion g(x) wie folgt:
g(x) := f(x-c)
Dann ist offensichtlich f(x) = g(x+c)
(Bezeichnungen: P(x|y) = Punkt P mit den Koordinaten x und y, V(x|y) entsprechend Vektor V mit den Komponenten x und y)
Wenn P( x | y ) auf dem Graphen von f liegt, dann ist y = f(x) und umgekehrt, nach der Definition des Graphen einer Funktion.
Weiter ist y = f(x) = g(x+c), also liegt
Q( x+c | y )
auf dem Graphen von g.
Q ergibt sich aus P durch Verschiebung um V mit
Q( x+c | y ) = P( x | y ) + V( c | 0 )
D. h. Q geht durch Verschiebung um V( c | 0 ) aus P hervor.
Da die y-Komponente von V 0 ist, ist V parallel zu x-Achse. D. h. Q geht durch eine Verschiebung parallel zur x-Achse aus P hervor.
Da wir für P nur vorausgesetzt haben, dass er auf dem Graphen von f liegt (und weiter nichts), gilt dies für jeden Punkt des Graphen von g.
Damit erhält man eine Teilmenge des Graphen von g, wenn man den Graphen von f um c Einheiten entlang der x-Achse (parallel zur x-Achse) verschiebt.
Wenn wir den Teilgraphen von g wieder zurück verschieben, erhalten wir wieder den Graphen von f.
Umgekehrt erhält man durch Rückwärtsverschieben des Graphen von g einen Teilgraphen des Graphen von f. Da man schon durch Rückwärtsverschieben eines Teilgraphen von g den ganzen Graphen von f erhält, muss dieser Teilgraph von f schon der ganze Graph von f sein.
Damit müssen die Graphen von f und g durch diese Verschiebungen 1:1 auseinander hervorgehen.
Vielleicht auch doch nicht am einfachsten, wenn ich mir meine Antwort noch mal durchlese. Aber dann bräuchte ich eine andere handhabbare Definition von "Verschiebung".
Explizit x-c einsetzen.
setz einfach zahlen ein
f(x)=0,5 *(x+c)^2 nun für x=2 einsetzen und für c=3 und c=-3
Dann die Graphen zeichnen.
c<0 verschiebt nach "rechts"
c>0 verschiebt nach "links"
Das kommt daher, dass jeder y-Wert, der
vorher bei x war, jetzt bei x+c ist.
Also
g(x+c) = f(x)
g(x) = f(x-c)
(g ist die verschobene Funktion)