Gleichung nach y auflösen (Ellipse)?
Wie löse ich solch eine Gleichung nach y auf?:
2x^2 + 6xy + 2y^2 = 1
Bräuchte vor allem die Rechenschritte, da ich selber darauf nicht komme, teile bloß am Anfang durch 2 und weiter komme ich dann nicht.
lg Kath
2 Antworten
Du kennst sicher die erste binomische Formel:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. (1)
Nun bei deiner Gleichung machst du folgenden Trick, um sie wie so eine binomische Formel aussehen zu lassen. Zunächst teilst du durch 2 und bringst dann x^2 auf die rechte Seite:
3xy + y^2 = 1/2 - x^2 (2)
Auf der linken Seite kannst du nun folgendes erkennen:
3xy + y^2 = 2*1,5x*y + y^2
Wenn du das mit der binomischen Formel (1) vergleichst, ist dein a = 1,5x und dein b = y. Um die rechte Seite von (2) nun wie eine bin. Formel aussehen zu lassen, addierst du vollständigkeitshalber (1,5x)^2 auf beiden Seiten und erhältst:
(1,5x)^2 + 3xy + y^2 = 1/2 - x^2 + (1,5x)^2
Dies lässt sich natürlich vereinfachen: Auf der linken Seite hast du deine bin. Formel und auf der Rechten kann man die x^2-Terme zusammenfassen.
(1,5x + y)^2 = 1/2 + (5x^2)/4
Alles weitere ist klar: Du ziehst erst auf beiden Seiten die Wurzel und bringst dann 1,5x auf die rechte Seite. Somit erhältst du 2 Ergebnisse für y:
y_1 = + Wurzel( 1/2 + (5x^2)/4 ) - 1,5x
y_2 = - Wurzel( 1/2 + (5x^2)/4 ) - 1,5x
Die beiden Ergebnisse unterscheiden sich durch das Vorzeichen vor der Wurzel.
Durch 2 ist schon mal gut. Dann hast du y²+3x*y+2x²=1/2. Jetzt noch 1/2 rüber und dann hast du eine normierte, quadratische Gleichung mit 0 auf einer Seite. Die kannst du dann mit einem Lösungsverfahren deiner Wahl (pq-Formel, abc-Formel, quadratische Ergänzung...) lösen.
und was ist dann das a, b und c?