Gleichung mit axiomen lösen?
die aufgabe lautet wie folgt: A V B = ( A ⊕B) ⊕ ( A ∧ B). Ich muss beweisen, dass die linke seite gleich der rechten entspricht aber ich komme einfach nicht weiter als:
((A ∧ ¬B) V ( ¬A ∧ B)) ⊕ A ∧ B falls das überhaupt bis hierhin korrekt ist..
danke im voraus
ich habe noch etwas rumgerechnet und jetzt habe ich A ⊕ B V AB raus, kann ich was damit anfangen ?
2 Antworten
((A ∧ ¬B) V ( ¬A ∧ B)) ⊕ A ∧ B falls das überhaupt bis hierhin korrekt ist..
Doch es ist korrekt. Das Exklusiv-Oder ist mit den axiomatischen Operatoren ausformuliert worden. Dies soll nun auch für das zweite Exklusiv-Oder fortgeführt werden. Zur Übersicht habe ich die beteiligten Operanden eingefärbt.
Die zweite und dritte Zeile sind identisch. In der dritten Zeile sind die rot eingefärbten Terme für eine DeMorgan Umformung eingefärbt.
Nach der DeMorgan Umformung wird die linke ODER-Verknüpfung "ausmultipliziert". Dabei entstehen zwei Dreifach-UND-Verknüpfungen, die immer falsch sind und darum aus der äußeren ODER-Verknüpfung entfernt werden dürfen. Der verbleibende Ausdruck enthält zwei weitere rot eingefärbte Terme, die wiederum nach DeMorgan umgeformt werden
Der rote Ausdruck wird "aus-ge-UND-et". Dabei entstehen wiederum zwei immerfalsche Terme, die entfernt werden dürfen.
Der verbleibende Ausdruck enthält eine UND-Verknüpfung mit dem rot eingefärbten Term (A UND B). Dieser Ausdruck wird in vorangestellte ODER-Verknüpfung "einmultipliziert".
Dabei erkennt man, dass der linke Term stets falsch ist und entfernt werden darf. Der rechte Term darf zu (A UND B) vereinfacht werden. Das vorläufige Ergebnis wird mit (A ODER B) erweitert, was überflüssig erscheint, weil dieser Term bereits enthalten ist. Er ermöglicht aber weitere Zusammenfassungen.
Das Distributivgesetz für ODER-Verknüpfungen erlaubt das Ausklammern der Variablen A. Die zugehörige eckige Klammer enthält einen immerwahren Ausdruck, der sodann in der äußeren UND Verknüpfung weggelassen werden darf. Das gleiche darf mit den beiden B-Variablen gemacht werden. Die daraus resultierend eckige Klammer liefert wieder einen UND-verknüpften immerwahren Ausdruck.
der letzlich zur erwarteten ODER-Verknüpfung führt.
Voraussetzung:
(A ⊕B) <=> (A oder B) und ¬ (A und B)
...........
(A⊕B) ⊕ (A∧B) <=>
((A⊕B) oder (A und B)) und ¬ ((A⊕B) und (A und B)) <=>
((A oder B) und ¬ (A und B) oder (A und B)) und ¬ ((A oder B) und ¬ (A und B) und (A und B)) <=>
[ ¬ (A und B) oder (A und B) ist stets wahr
Und
¬ (A und B) und (A und B) ist stets falsch]
((A oder B) und w.A.) und ¬ ((A oder B) und f.A.)) <=>
(A oder B) und ¬ f.A. <=>
(A oder B) und w.A. <=>
A oder B