Gleichung durch x teilen?
Hat man bspw die Gleichung x^2=x dann darf man ja nicht durch x teilen weil x ja auch null sein kann. Wenn man es nun doch tut, warum verschwindet dann die Lösung 0 einfach. Also mir ist klar das man nicht durch null teilen darf aber warum genau geht dann genau diese Lösung verloren und Nicht irgend eine andere?
6 Antworten
Wenn du durch x teilst, setzt du voraus, dass x ≠ 0 ist.
Damit brauchst du dich nicht zu wundern, wenn auch im Ergebnis herauskommt, dass x ≠ 0 wäre.
Deshalb muss man Fallunterscheidungen oder ODER-Konstrukte machen, wenn man eine zusätzliche Voraussetzung einführt.
Weil du nicht die zusätzliche Voraussetzung einführst, dass x ≠ 1 ist.
Wenn du - z. B. in
(2 x - 3) * (x - 1) = (x + 1) * (x - 1)
.- durch (x - 1) teilst, geht die Lösung x = 1 verloren (aber nicht x = 4).
Bei x^2 = x wird durch x geteilt, damit geht die Lösung x = 0 verloren.
Damit die Lösung 1 verschwindet, muss man durch (x-1) teilen, etwa:
x^2 = x | - 1
x^2 - 1 = x - 1 | 3. binomische Formel rückwärts
(x + 1) (x - 1) = x - 1 | durch (x - 1) teilen -- hier Fallunterscheidung, ob x = 1 oder nicht (Die Division ist ja nur zulässig, wenn x ≠ 1 ist)
x + 1 = 1
Ja, so kann man es ausdrücken.
Mathematiker bevorzugen eine Fallunterscheidung: 1. x = 0, 2. x ≠ 0.
In Fall 1 darf man nicht durch 0 teilen, dafür kann man überall für x 0 einsetzen. Es kann passieren, dass für diesen Fall ein Widerspruch herauskommt, dann ist x=0 keine Lösung.
In Fall 2 darf man durch x teilen, weil man durch jede Zahl ungleich 0 teilen darf. Wenn sich beim Weiterrechnen herausstellt, dass x=0 eine oder die Lösung für die neue Gleichung ist, muss man diese Lösung streichen, um keine Nichtlösung des ursprünglichen Problems mitzunehmen.
Das stimmt.
Allerdings könnte es immer noch passieren, dass x=1 als Lösung herauskommt, nachdem man durch x-1 geteilt hat. Dann muss man x=1 aus diesem Zweig der Lösung ausschließen.
1.Ok aber zusammenfassend kann man sagen dass diejenige Lösung immer verloren geht bei der man durch null teilt? Aber eine richtige Erklärung gibt es nicht die das verschwinden der Lösung erklärt?
2.wenn man die Gleichung von oben hat also (x-1)*(x+1)=1
Und jetzt durch x-1 teilt macht es dann einen Unterschied? Weil rechts steht ja nicht mehr null sondern eins oder irgend eine beliebige Zahl
Zu 1.: Ja, es stimmt, dass die Lösung verlorengeht (verlorengehen kann), für die der Ausdruck, durch den man teilt, null wird.
Aber es gibt eine Erklärung, nämlich, dass man aus der Gleichung eine andere macht, indem nan voraussetzt, dass der Ausdruck ungleich null ist.
Es ist nicht verwunderlich, wenn man das, was man (zusätzlich) hineinsteckt, auch wieder herausbekommt.
Zu 2.: In diesem Fall macht es keinen Unterschied, das stimmt. Aber das weiß man erst, nachdem man nachgewiesen hat, dass
x - 1 = 0
keine gemeinsame Lösung mit der ursprünglichen Problemstellung hat. (Dass man das in diesem Fall auf den ersten Blick "sieht", ändert nichts am Prinzip, nur am Aufwand des Nachweises.)
Ok
—>Aber es gibt eine Erklärung, nämlich, dass man aus der Gleichung eine andere macht, indem nan voraussetzt, dass der Ausdruck ungleich null ist.
was genau meinst du warum macht man aus der Gleichung eine andere? Also bzw wie setzt man Vorraus dass der Ausdruck ungleich null ist ich meine nur weil ich dadurch teile heißt ja nicht das ich das voraussetze ich mein an der Stelle wo ich durch null teile ist dann halt eine definitionslücke
Ne 2 hat sich erledigt. Hab’s verstanden. Aber warum geht in bestimmten Fällen trotzdem eine Lösung verloren? Ich teile ja beide Seiten der Gleichung durch diesen Wert
konkretes Beispiel: (x+1)*(x-1)=1
hat die Lösungen sqrt(2) und -sqrt(2) wenn ich jetzt beide Seiten der Gleichung durch x-sqrt(2) teile dann geht die Lösung sqrt(2) verloren aber warum ? Ich teile ja beide Seiten das heißt es würde sich ja wieder rauskürzen
Wenn du durch (x-√2) teilst, kannst du das nur machen, wenn x≠√2 ist, bzw. wenn du es tust, führst du die zusätzliche Information ein, dass x≠√2 ist.
Eben. Durch das Kürzen fällt die Definitionslücke weg und damit haben wir eine andere Funktion.
Ja.
Es sei denn, der Term kann nicht 0 werden, oder ein gleichbedeutender Term ist bereits Faktor beider Ausdrücke auf den Seiten der Gleichung / Ungleichung.
in 1/x = 5 gehört 0 nicht zur Definitionsmenge von x.
Aber wenn wir mit x multiplizieren, gehort 0 zur Definitionsmenge von x.
Dass in diesem Fall x=0 keine Lösung ist, ist vom Standpunkt der Umformung aus zufällig.
1.Bzw darf man dann x^2/x überhaupt kürzen weil für den Fall x=0 geht das ja eben nicht. Aber in der Physik bspw. Wird ja ständig durch Variablen geteilt oder multipliziert
da scheint es ja auch kein Problem zu sein .
2.bzw allgemein: wenn ich nach einer Variable Auflöse und dabei mit der Variablen selbst oder einem Term mit der Variablen multiplizieren oder teilen muss, auf was muss man wann achten bzw wie kann es sich auf die lösungsmenge ausüben?
.1.
Auch in der Physik muss man sicherstellen, dass ein Term nicht 0 werden kann, bevor man durch ihn teilt oder mit ihm multipliziert, oder eine Fallunterscheidung machen. Zugegebenermaßen sind die allermeisten Physiker schlichtweg zu faul dazu und sagen sich "wird schon gutgehen."
Zwei meiner Profs für theoretische Physik stellten hier die Extreme dar.
Prof A: "Wenn Sie eine Singularität sehen, integrieren Sie einfach darüber hinweg. Es wird schon funktionieren - und wenn nicht, haben Sie ein neues Teilchen entdeckt."
Prof B: (nach Vorrechnen einer Näherung, die Term scheinbar 2. Ordnung, aber in Wirklichkeit 1. Ordnung mitnimmt) "Dies ist ein schönes Beispiel dafür, dass jahrzehntelang alle denselben Fehler machen, und kaum kommt einer her und macht es mathematisch korrekt, entdeckt er etwas fundamental Neues und kriegt einen Nobelpreis."
.2.
Wenn du durch einen Term teilst: zusätzlich
ODER [Term] = 0
wenn du mit einem Term multiplizierst: zusätzlich
UND [Term] ≠ 0
(Der Term kann hier auch aus einer einzelnen Variablen bestehen)
->Wenn du durch einen Term teilst: zusätzlich
ODER [Term] = 0
wenn du mit einem Term multiplizierst: zusätzlich
UND [Term] ≠ 0
(Der Term kann hier auch aus einer einzelnen Variablen bestehen)
1.was genau meinst du? Also verstehe nicht ganz was du meinst
2.du sagtest ja wenn ich zb habe: x^2=0 und ich jetzt durch x teile dann führe ich ja die zusätzlichen Information ein das x ungleich 0 ist. Aber wenn ich dann kürze (weil x ja ungleich null ist erhalte ich: x=0
ist das jetzt ein widerspruch?
.1.
(x-1) (x-2) = 0 | ÷ (x-1)
x-2 = 0 ODER x-1 = 0
bzw.
1 / (x-1) = 1 | × (x-1)
1 = x-1 UND x-1 ≠ 0
-----
.2.
du hast recht - da habe ich nicht scharf genug nachgedacht.
Es funktioniert nur in eine Richtung: durch das Teilen durch x kann man sich im Ergebnis nicht mehr darauf verlassen, dass x = 0 KEINE Lösung mehr ist, aber es kann durchaus noch eine Lösung sein - wie dein Fall belegt.
Bei der Formulierung mit ODER ist es eindeutig:
x² = 0 | ÷ x
x = 0 ODER x = 0
Bei x²/x hast du 0 als Definitionslücke.
Wenn du x kürzt, hast du als Ergebnis x, womit 0 als Definitionslücke wegfällt. Ohne diese Definitionslücke ausdrücklich zu erwähnen, erweitert sich also der Definitionsbereich. Damit hast du einen nicht-äquivalenten Term bzw. eine andere Funktion.
In einem solchen Fall spricht man von einer "hebbaren Definitionslücke". Aber nichtsdestoweniger ist es eine Definitionslücke.
Sorry, die Antwort, die ich gestern angefangen hatte, ist verlorengegangen.
Auch bei den Potenzgesetzen muss man auf die Ausnahmen achten. Ansonsten gelten sie natürlich und lassen sich auch anwenden.
0^0 kann man definieren, das ergibt aber bei reellen Zahlen keinen Sinn. (in der Kombinatorik ist es sinnvoll, 0^0:=1 zu definieren, aber das ist ein Spezialgebiet.
0^[negative Zahl] ist nicht definiert (es wäre ja ein Teilen durch 0).
x^5/x^3 ist x^2
nur für den Fall x=0 liegt eine Definitionslücke vor?
Stimmt.
warum kürzt man nicht zuerst und setzt dann erst für x ein
Weil man dann möglicherweise Lösungen bekommt, die keine Lösungen des ursprünglichen Problems sind.
Die Division durch 0 ist nun mal eins der Dinge in der Mathematik, für die man Sonderfälle betrachten muss.
Genau aus dem genannten Grund. Du darfst schon durch x teilen, dabei "verschwindet" jedoch die Lösung 0, falls es eine mögliche Lösung der Gleichung ist, weil du nämlich nicht durch x teilen könntest, wenn die Lösung 0 ist. Somit kommt nur die andere Lösung in Frage. Sprich: Wenn du durch x teilst, musst du immer im nächsten Schritt explizit 0 für x einsetzen und überprüfen, ob 0 eine Lösung der Gleichung ist.
Eleganter ist jedoch das Ausklammern von x:
x^2 = x |-x
x^2 - x = 0
x(x - 1) = 0
Aufgrund des Satzes vom Nullprodukt (ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist) gilt:
x = 0 v x - 1 = 0 |+1
x = 1
-----
Alternativ die Variante mit Teilen durch x:
x^2 = x |:x
x = 1
Explizite Überprüfung von x=0:
0^2 = 0
0 = 0
Passt, also ist x=0 ebenfalls eine Lösung der Gleichung!
x² = x kann man umformen zu x²- x = 0 oder auch x(x - 1) = 0.
Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, daher erhältst du die Lösungen x = 0 bzw x - 1 = 0.
Wenn du jetzt aber die Gleichung durch x teilst, erhältst du x - 1 = 0. Das heißt, einer der Faktoren, die gleich 0 hätten sein können, geht dir verloren.
Wir können uns auch von dem konkreten Beispiel entfernen:
Wenn du eine Gleichung durch x teilst, kann gar keine andere Lösung als x = 0 verschwinden, weil diese Rechenoperation für alle anderen Werte von x ja eine gültige Äquivalenzumformung ist.
Was genau meinst du damit ? Also warum könnte die Lösung 1 beispielsweise nicht verschwinden?
Wenn x = 1 ist, kannst du die Gleichung ja durch x teilen, ohne die Lösungsmenge zu verändern, denn Division durch 1 ist eine Äquivalenzumformung. Mal ganz formal:
Sagen wir, wir haben eine Gleichung P(x) = 0, wobei P(x) irgendein Term in der Variablen x ist.
Unter der Voraussetzung, dass x nicht 0 ist, können wir die Gleichung durch x dividieren:
P(x) / x = 0.
Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn x nicht 0 ist und P(x) = 0 gilt. Das heißt, jede Nullstelle von P(x) außer x = 0 ist auch eine Nullstelle von P(x) / x.
Insbesondere ist die einzige Lösung (d.h. die einzige Nullstelle von P(x)), die dir bei Division durch x "verloren" gehen kann, die Lösung x = 0.
Also kann man jetzt sagen es liegt einfach daran dass man nicht durch null teilen kann ? Weil es nicht definiert ist oder wie genau soll man es auffassen?
Die Quintessenz des ganzen ist, dass wann immer du durch einen Term teilst, der eine Variable enthält, du den Fall, dass dieser Term 0 ist gesondert betrachten musst. Wenn du die Gleichung
x² - 1 = x - 1
durch (x - 1) teilst, sind alle Aussagen, die du danach folgerst, irrelevant für den Fall x = 1, weil du in diesem gar nicht durch (x - 1) hättest teilen dürfen.
Achso eine Sache vielleicht noch: was ist wenn ich so einen Term habe: (x-2)*(x+3)=0
und den teile ich jetzt durch bspw (x-1) dann geht doch keine Lösung verloren denn 1 war nie eine Lösung der Gleichung?
Korrekt. Wenn du durch (x - 1) teilst, kannst du mithilfe der darauffolgenden Rechnung keine Aussage darüber treffen, ob x = 1 eine Lösung ist oder nicht. Du musst den Fall x = 1 dann gesondert behandeln (d.h. x = 1 in die ursprüngliche Gleichung einsetzen) und würdest in diesem Fall herausfinden, dass x = 1 wirklich keine Lösung ist.
hier sind 2 Funktionen (Gleichungen) gleichgesetzt worden
y1=f1(x)=x² und y2=f2(x)=x
y1=y2 ergibt x^2=x
Schnittpunkte bei 0=x²-1*x hat die Form 0=x²+p*x ist die gemischtquadratische Form der Parabel mit q=0
Nullstellen bei x1=0 und x2=-p also x2=-(-1)=1
Man kann ja auch die Lösung durch probieren finden.
0=0 stimmt
1²=1 stimmt
2²=4=2 ist Unsinn
(-1)²=1=-1 auch Unsinn
Man darf grundsätzlich nicht durch 0 teilen - richtig!
Deshalb ist das Teilen durch x nur dann zulässig, wenn x ungleich 0 ist.
Die Lösung x=0 verschwindet nicht!
Wenn x=0 eine Lösung ist, dann bleibt diese Lösung so bestehen, egal was man als Nächstes rechnent.
Wenn die Gleichung weiter umgeformt wird, um weitere Lösungen zu berechnen, dann ändert das nichts daran, dass die Lösung x=0 schon klar ist.
Aber warum geht bspw die Lösung 1 nicht verloren?