Gleichsetzung mit Logarithmus und variabel?
Ich habe das Problem, dass ich nicht weiss, wie ich diese Gleichung nach x auflöse: 60x+1200=120*1.03288^x.
2 Antworten
Hallo,
wenn Du das berechnen willst, brauchst Du ein Programm, das die Lambert-W-Funktion drauf hat.
Die Lambert-W-Funktion ist die Umkehrfunktion zu f(x)=x*e^x
Das bedeutet, wenn Du es schaffst, Deine Gleichung so umzuwandeln, daß am Ende etwas wie x*e^x=y da steht, kannst Du y in das Programm mit der Lambert-Funktion eingeben und Dir wird das passende x dazu ausgespuckt.
Der Vorteil: Du brauchst keine Nullstellen abzuschätzen, um Anfangswerte für Näherungsverfahren zu bekommen und Du bekommst alle Nullstellen, die vorhanden sind.
Der Nachteil: Die Lambert-Funktion ist auf normalen Taschenrechnern nicht vorhanden und die Umwandlung der Gleichung ist nicht immer einfach.
Aber es geht:
Zunächst teilst Du die Gleichung durch 120, um den Faktor vor der Potenz loszuwerden:
0,5x+10=1,03288^x
Ich werde ab jetzt 1,03288 durch a ersetzen, sonst tippe ich mir hier einen Wolf:
0,5x+10=a^x
a^x wird umgewandelt zu e^(x*ln(a)), denn irgendwie müssen wir e ins Spiel bringen.
0,5x+10=e^(x*ln(a))
Das multiplizieren wir mit e^(-x*ln(a)), um e auf die andere Seite zu bringen:
e^(-x*ln(a))*(0,5x+10)=1
Nun multiplizieren wir alles mit (-2), damit wir einen Faktor mit -x bekommen, denn im Exponenten haben wir auch ein -x:
e^(-x*ln(a))*(-x-20)=-2
Im Exponenten ist auch der Faktor ln(a), also multiplizieren wir die Gleichung auch mit dem:
e^(-x*ln(a))*(-x*ln(a)-20*(ln(a))=-2*ln(a)
Jetzt sieht der Faktor auf der linken Seite dem Exponenten von e schon recht ähnlich, ist aber noch nicht gleich.
Wir ändern jetzt noch etwas am Exponenten:
e^(-x*ln(a)-20*ln(a)) entspricht nach den Potenzgesetzen dem Ausdruck
[e^(-x*ln(a))]/[e^(20*ln(a)]
Der Exponent wird also so wie der Faktor auf der linken Seite, wenn wir die ganze Gleichung durch e^(20*ln(a)) teilen.
e^(20*ln(a)) ist aber nichts anderes als a^20
So bekommen wir:
e^(-x*ln(a)-20*ln(a))*(-x*ln(a)-20*ln(a))=-2*ln(a)/a^20
Wenn wir also -2*ln(1,03288)/1,03288^20 (Du erinnerst Dich, daß ich 1,03288 durch a ersetzt hatte) in ein Lambert-W-Programm eingeben, bekommen wir heraus, was -x*ln(a)-20*ln(a) ist.
Nennen wir diesen Wert y und lösen nach x auf:
y=-x*ln(a)-20*ln(a)=ln(a)*(-x-20)
-x-20=y/ln(a)
-x=20+y/ln(1,03288)
x=-20-y/ln(1,03288)
lam(-2*ln(1,03288)/1,03288^20)=-0,03508804 oder -4,9930249
Wenn ich diese Werte für y in die Gleichung x=-20-y/(ln(1,03288)) eingebe, bekomme ich als Lösung:
x1=-18,91539607 und x2=134,3390403 heraus
Herzliche Grüße,
Willy
Naja, zuallererst mal durch 60 oder durch 120 dividieren !
Man kann aber die Gleichung nicht formal auflösen, auch nicht mittels Logarithmen. Für die Lösung setzt man daher ein Näherungsverfahren ein, zum Beispiel ein simples Rekursionsverfahren.
Man kann die Gleichung auf die Form
f(x) = x
mit f(x) = ln(x/2+10) / ln(1.03288)
bringen.
Wenn man nun mit irgendeinem Startwert x(0) beginnt und dann x(1), x(2), x(3), ..... nach dem Rezept x(n+1):= f(x(n)) berechnet, so konvergiert die Folge dieser Werte x(n) gegen die eine der beiden Lösungen der Gleichung.
Für die andere Lösung muss man eine andere geeignete Rekursionsgleichung aufstellen.
Ich habe diese Iterationsmethode einmal vorgeschlagen, um nicht jedesmal gerade zum Newton-Verfahren zu greifen ...
Und wie geht das? :'D