Gibt es doppelt so viele ganze Zahlen wie natürliche Zahlen?

Nein, es gibt genauso viele ganze Zahlen wie natürliche Zahlen.

Kennst du die Geschichte mit dem Hotel mit den unendlich vielen Zimmern?

Also, da gibt es ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern, die mit 0 anfangend nummeriert sind. In jedem "wohnt" die entsprechende natürliche Zahl. Es klingelt an der Tür und davor steht ein Bus mit allen negativen ganzen Zahlen. "Tut mir leid" sagt der Mann an der Rezeption, "Wir sind voll". "Ach was" sagt der Liftboy, "ich habe ein Idee, wie wir die Leute unterbringen: Jede natürliche Zahl zieht in das Zimmer mit der doppelten Nummer wie bisher, dann ist zwischen zwei natürlichen Zahlen wieder genug Platz für die negativen Zahlen".

Wenn also das Hotel vorher mit

0, 1, 2, 3, ... belegt war, so ist es jetzt belegt mit

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 ....

Die Anzahl der Hotelzimmer hat sich nicht verändert, also gibt es genau so viele ganze Zahlen wie natürliche Zahlen.

Nein, von beiden gibt es unendlich viele.

Bei Unendlichkeiten gelten die normalen Gesetze der Mathematik nicht mehr.

Es gibt durchaus eine Klassifizierung der Unendlichkeiten. Es gibt zum Beispiel abzählbare Unendlichkeit (natürliche Zahlen) und überabzählbare Unendlichkeit (reelle Zahlen).

Das Ganze nennt sich „Mächtigkeit“: https://de.wikipedia.org/wiki/Mächtigkeit_(Mathematik)

Ja weil auf jede natürliche ganze Zahl noch eine negative ganze Zahl kommt.