Gesucht ist eine Funktion der N -> N, welche injektiv aber nicht surjektiv ist?
Wie soll man den da etwas finden? Es soll ja zu jedem y-Wert mind. ein x-Wert geben. Würde problemlos klappen. Aber wie kann die dann surjektiv sein? ist doch unmöglich, oder? Das Problem ist, dass nur natürliche Zahlen erlaubt sind.
hoffe mir kann jemand weiterhelfen
2 Antworten
Gesucht ist eine Funktion der N -> N, welche injektiv aber nicht surjektiv ist?
Beispielsweise:
f₁: ℕ → ℕ, n ↦ n + 1
Oder beispielsweise:
f₂: ℕ → ℕ, n ↦ 2 ⋅ n
Es soll ja zu jedem y-Wert mind. ein x-Wert geben.
Nein. Dann wäre die Funktion surjektiv. In der Frage geht es doch aber darum eine nicht-surjektive Funktion zu finden.
ich blicke da grad gar nicht mehr durch. also, ich suche eine injektive , aber nicht surjektive funktion der natürlichen zahlen. aber irgendwie sind die bei mir immer bijektiv. ich check das nicht. mal angenommen y=m*x+b -> y=2x ; dann trifft die Funktion doch bijektiv. vllt. kannst du mir das verständlich erklären, falls du das liest
Nein, die durch y = 2x gegebene Funktion ℕ → ℕ ist nicht bijektiv, da sie nicht surjektiv ist.
Denn zu y = 3 gibt es beispielsweise keinen passenden x Wert im Definitionsbereich ℕ. Denn wenn man die Gleichung auflöst, müsste dafür x = 3/2 sein, was aber keine natürliche Zahl ist.
aber bei der funktion y=2x gibt es doch zu jedem y-wert höchstens 1 x-wert
Das hat aber nichts mit der Surjektivität der Funktion zu tun, sondern bedeutet, dass die Funktion injektiv ist.
und zu dem y-wert mindestens 1 x-wert
Nein gibt es nicht. Ich habe dir doch in meinem vorigen Kommentar geschrieben, dass es beispielsweise zum y-Wert y = 3 ∈ ℕ keinen passenden x-Wert x ∈ ℕ mit y = 2x gibt. Es gibt also eben nicht zu jedem y-Wert aus dem Zielbereich ℕ der Funktion mindestens einen passenden x-Wert im Definitionsbereich ℕ der Funktion. Daher ist die Funktion nicht surjektiv.
f(n)=n^2, n^3, n^4, ..., n^n etc.
f(n)=n+k für k > 0
es gibt bestimmt noch weitere Beispiele.
Oder meinst du surjektiv, aber nicht injektiv? Die Frage gabs schon mal. HIer kann man z.b.
f(n) = n/2 für n gerade
f(n) = (n+1)/2 für n ungerade
wählen
Wenn du nach einer surjektiven Funktion ℕ → ℕ suchst, so könnte man die Funktion
f₃: ℕ → ℕ, n ↦ n
angeben, welche auch injektiv wäre.
Für eine surjektive, aber nicht injektive Funktion ℕ → ℕ könnte man beispielsweise, die Funktion
f₄: ℕ → ℕ
mit f₄(n) = n/2, wenn n gerade,
und f₄(n) = n, wenn n ungerade,
betrachten.