Geometrische Folge nach q umstellen
Guten Abend,
Benötige eine ausführliche Erklärung wie man
an = a1*q^n-1
nach
q = an+1 / an
umstellt.
2 Antworten
Es gilt:
a_n = a_1 * q^(n-1)
a_(n+1) = a_1 * q^(n)
Jetzt beides nach a_1 umstellen, gleichsetzen dann hast du
a_n / q^(n-1) = a_(n+1) / q^n
Mit q^n durchmultiplizieren und durch a_n teilen
Wenn du tust, was DoTheBounce vorgeschlagen hat, dann erhältst du:
q ^ n / q ^ ( n - 1 ) = a(n+1) / a(n)
[Auf den linken Bruch wendet man nun folgendes Potenzgesetz an:
x ^ k / x ^ m = x ^ ( k - m )
und erhält:]
q ^ n / q ^ ( n - 1 ) = q ^ ( n - ( n - 1 ) ) = q ^ 1
und damit insgesamt:
q ^ n / q ^ ( n - 1 ) = a(n+1) / a(n)
<=> q = a(n+1) / a(n)
also das gewünschte Ergebnis.
Für jedes n≥1 gilt an = a1 · q^{n–1} (bitte vergiss doch nie, Klammern zu verwenden!).
Also gilt für jedes k: a{k+1} / a{k} = (a1 · q^{k+1–1}) / (a1 · q^{k–1}) = q
Welche Regel wurde angewandt um die Potenz ^(n-1) umzustellen?