2 Antworten
Da man in der Praxis das Gauß-Verfahren eigentlich ein Computerprogramm machen lässt arbeite ich im nachfolgenden nur mit der Matrix-Schreibweise :
-1 | 7 | -1 | 5
4 | -1 | 1 | 1
5 | -3 | 1 | -1
Was im Gauß-Verfahren alles erlaubt ist :
- Zeilen darf man miteinander vertauschen
- man darf Zeilen mit einer Zahl ungleich Null multiplizieren
- man darf Zeilen durch eine Zahl ungleich Null dividieren
- man darf Zeilen miteinander addieren
- man darf Zeilen von einander subtrahieren
- Spalten dürfen ebenfalls vertauscht werden, wenn die jeweilige Variable bei der Vertauschung mitgenommen wird.
Nun zur Rechnung :
Zeile I.) mit - 1 multiplizieren, dadurch kehren sich in der Zeile I.) alle Vorzeichen um :
1 | -7 | 1 | -5
4 | -1 | 1 | 1
5 | -3 | 1 | -1
Zur Zeile II.) das -4 fache der Zeile I.) addieren, dadurch bekommt man eine Null in die Matrix :
1 | -7 | 1 | -5
0| 27 | -3 | 21
5 | -3 | 1 | -1
Zur Zeile III.) das -5 fache der Zeile I.) addieren, dadurch bringt man erneut eine Null in die Matrix :
1 | -7 | 1 | -5
0| 27 | -3 | 21
0 | 32 | -4 | 24
Zur Zeile III.) das - (32 / 27) - fache der Zeile II.) addieren, in der Zeile III.) sind danach zwei Nullen in der Matrix :
1 | -7 | 1 | -5
0| 27 | -3 | 21
0 | 0 | -4/9 | -8/9
Zeile III.) mit - (9 / 4) multiplizieren um die Variable x_3 direkt ablesen zu können :
1 | -7 | 1 | -5
0| 27 | -3 | 21
0 | 0 | 1 | 2
Jetzt ist die Zeit fürs Rückwärtseinsetzen gekommen :
x_3 = 2
27 * x_2 - 3 * 2 = 21
x_2 = 1
1 * x_1 - 7 * 1 + 1 * 2 = - 5
x_1 = 0
Fazit :
x_1 = 0 und x_2 = 1 und x_3 = 2
Das ist nur eine Möglichkeit von vielen wie man das hätte lösen können.
ziel ist es , in den Zeilen Nullen zu erzeugen, dh Variablen verschwinden.
hier zuerst die x1
.
bis hier hin alles ok
diese Minus - Operation ist aber sinnlos ,weil so weder x2 noch x3 eliminiert werden
hier müsste man was tun damit vor x2 oder x3 dieselbe Zahl steht.!!!!!
Dann abziehen und eine der beiden verschwindet.
.
Dann steht nur noch was mit x2 ( oder x3 ) da , und den Wert kann man dann ermitteln
