f(x1,x2) = x1 * x2 quasi-konkav?
Hi,
Ziel ist es zu beweisen, dass f(x1,x2) = x1 * x2 quasi-konkav auf Set S = ℝ++^2.
Ich habe mit der Definition begonnen:
y = f(x) ist quasi-konkav auf einem konvexen Set S genau dann, wenn a, b ∈ S mit f(a) ≥ c und f(b) ≥ c und:
f(ta + (1-t) f(b)) ≥ c
Also in diesem Fall:
[t * a1 + (1-t) * b1 * b2] * [t * a2 + (1-t) * b1 * b2] ≥ c
Da gelten muss, dass f(b) ≥ c, könnte ich doch mal versuchen f(b) = b1 * b2 durch c zu ersetzen, richtig?
[t * a1 + (1-t) * c] * [t * a2 + (1-t) * c] ≥ c
und dann müsste man wahrscheinlich ausmultiplizieren:
t^2 * a1 * a2 + t * a1 * (1-t) * c + (1-t) * c * t * a2 + (1-t)^2 * c^2 ≥ c
Da ebenfalls gelten muss, dass f(a) ≥ c, habe ich nun f(a) = a1 * a2 durch c ersetzt.
t^2 * c+ t * a1 * (1-t) * c + (1-t) * c * t * a2 + (1-t)^2 * c^2 ≥ c
c ausklammern:
c * [t^2 + t * a1 * (1-t) + (1-t) * t * a2 + (1-t)^2 * c] ≥ c
dann vielleicht t und (1-t) in der Mitte ausklammern:
c * [t^2 + t * (1-t) (a1 + a2) + (1-t)^2 * c] ≥ c
Nun müsste man nur noch beweisen, dass [t^2 + t * (1-t) (a1 + a2) + (1-t)^2 * c] ≥ 1 ist. Aber das gelingt mir dann nicht mehr.
Hat jemand ein Tipp oder weiss wie man das noch beweisen kann?
3 Antworten
f(ta + (1-t) f(b)) ≥ c
Du hast hier einen Fehler drin, es muss
f(t a + (1-t) b) >= c lauten.
Korrigiere das erst Mal, vielleicht wirst du dann die Lösung finden können.
Mit der Notation von Firehero730:
zu zeigen ist:
(ta1 + (1-t)b1) * (ta2 + (1-t)b2) ≥ min(a1a2,b1b2)
OBdA nehmen wir an, dass a1a2 <= b1b2
Linke Seite ausmultipliziert,
t^2 a1a2 + t(1-t) (a2b1+a1b2) + (1-t)^2 b1b2
Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel erhalten wir
(b1a2+a1b2)/2 >= Wurzel(b1a2a1b2) >= a1a2
Jetzt muss man nur noch alles einsetzen
.. >= t^2 a1a2 + t(1-t) 2 a1a2 + (1-t)^2 a1a2 = a1a2
Die Frage zielt darauf ab, zu beweisen, dass die Funktion f(x1,x2)=x1×x2 quasi-konkav auf dem Set S = ℝ++^ℝ++ ist
Um dies zu beweisen, müssen wir die Definition der Quasi-Konkavität verwenden. Eine Funktion f ist quasi-konkav auf einem konvexen Set S, wenn für alle a, b ∈ S und für alle t ∈ [0,1] gilt:
f(ta+(1−t)b)≥min(f(a),f(b))
In diesem Fall haben wir:
f(ta + (1-t)b) = f(ta1 + (1-t)b1, ta2 + (1-t)b2)
= (ta1 + (1-t)b1) * (ta2 + (1-t)b2)
Da a, b ∈ R++ * R++, sind a1,a2,b1,b2 alle positiv. Daher sind die Produkte ta1 + (1-t)b1 und ta2 + (1-t)b2 ebenfalls positiv für alle t ∈ [0,1].
Nun, um die Quasi-Konkavität zu zeigen, müssen wir beweisen, dass:
(ta1 + (1-t)b1) * (ta2 + (1-t)b2) ≥ min(a1a2,b1b2)
Da a1a2 und b1b2 beide positiv sind, können wir den obigen Ausdruck weiter vereinfachen, indem wir die Ungleichung für verschiedene Werte von t überprüfen.
Für t = 0:
f(b) = b1b2
Für t = 1
f(a) = a1a2
Für 0 < t < 1, da a1,a2,b1,b2 alle positiv sind, wird das Produkt (ta1 + (1-t)b1) * (ta2 + ( 1-t)b2) ebenfalls positiv sein
Da f für alle t ∈[0,1] positiv ist und f(ta + (1-t)b) immer größer oder gleich dem kleineren Wert von f(a) und f(b) ist, können wir schlussfolgern, dass f quasi-konkav auf S ist.
Zusammenfassend, die Funktion f(x1,x2) = x1 * x2 ist quasi-konkav auf S = R++ * R++
Beweis dass für alle a,b ∈ S und für alle t ∈ [0,1] gilt:
f(ta + (1-t)b) ≥ min(f(a),f(b))
das bedeutet:
(ta1 + (1-t)b1) * (ta2 + (1 - t)b2) ≥ min(a1a2,b1b2)
Um dies zu zeigen haben wir zwei Fälle:
1. a1a2 ≤ b1b2:
In diesem Fall ist min(a1a2,b1b2) = a1a2. Da a1 ≤ b1 und a2 ≤ b2 (aufgrund der Annahmen, dass a1a2 ≤ b1b2) wird das Produkt (ta1 + (1-t)b1) * (ta2 + (1-t)b2) immer größer oder gleich a1a2 sein.
2. a1a2 > b1b2:
In diesem Fall ist min (a1,a2,b1,b2) = b1b2. Da a1 > b1 und a2 > b2 (aufgrund der Annahme, dass a1a2 > b1b2), wird das Produkt (ta1 + (1-t)b1) * (ta2 + (1-t)b2) immer größer oder gleich b1b2 sein
In beiden Fällen erfüllt die Funktion die Bedingung der Quasi-Konkavität. Daher können wir schlussfolgern, dass f(x1,x2) = x1 * x2 quasi-konkav auf S = R++ * R++ ist
Kannst doch auch mal zeigen wie du es löst als Mathe student
Da a1 ≤ b1 und a2 ≤ b2 (aufgrund der Annahmen, dass a1a2 ≤ b1b2)
a1 <= b1 und a2 <= b2 folgt nicht aus a1a2<=b1b2.
Gegenbeispiel: 2*5 <= 3*4 aber 5 ist nicht kleine gleich 4.
Kannst doch auch mal zeigen wie du es löst als Mathe student
Später vielleicht.
Du hast nur gezeigt, dass der Wert positiv ist. Nicht dass der Wert größer oder gleich min(f(a), f(b)) ist.