Für welches u hat das Dreieck, das aus der Tangente von Teil a) und den beiden Koordinatenachsen gebildet wird, maximalen Flächeninhalt? Bitte komplette Lösung?
Aufgabe 3c) Ich brauche die komplette Lösung, weil ich schlecht in Mathe bin. Wäre sehr freundlich,wenn mir jemand helfen könnte.
2 Antworten
Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
xo=Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=.. liegen soll
1) f(x)=e^(-1*x) abgeleitet mit der Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)
Substitution (ersetzen) z=-1*x → z´=dz/dx=-1
f(z)=e^(z) → f´(z)=e^(z)
2) f´(x)=z´*f´(z)=-1*e^(-1*x)
xo=u
f(xo)=f(u)=e^(-u)
f´xo)=f´(u)=-1*e^(-u)
eingesetzt
fut(x)=-1*e^(-u)*(x-u)+e^(-u)=-1*e^(-u)*x+u*e^(-u)+e^(-u)
yt=fut(x)=-1*e^(-u)*x+e^(-u)*(u+1) → f(x)=m*x+b
m=-1*e^(-u)
b=e^(-u)*(u+1)
nun eine Zeichnung machen
wir sehen da ein rechtwinkliges Dreieck → Fläche A=1/2*a*b
bei x=0 → fut(0)=b=e^(-u)*(u+1)
a → Nullstelle fut(x)=0=-1*e^(-u)*x+e^(-u)*(u+1)
a=x=e^(-u)/[1*e^(-u)]*(u+1)
a=x=e^(-1*u-(-1*u)*(u+1) → Potenzgesetz a^(r)/a^(s)=a^(r-s)
a=e^(-1*u+1*u)*(u+1)=e⁰*(u+1)=1*(u+1)
a=u+1
A(u)=1/2*(u+1)*e^(-u)*(u+1)
A(u)=1/2*e^(-u)*(u+1)² Mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)
Maximum bei umax=1 A(1)=0,7367.. FE (Flächeneinheiten)
In Handarbeit eine Kurvendiskussion durchführen → Extrema bestimmen
A´(u)=m=0=... Produktregel (u*v)´=u´*v+u*v´
A´´(u)=...
prüfe auf Rechen-undTippfehler.
Du musst eine allgemeine Form t(x) = mx + b für die Tangente an f in A(u|f(u)) finden.
Das Dreieck wird durch den Y-Achsenabschnitt b und die Nullstelle -b/m bestimmt.
Wie weit kommst du alleine?
