Für welche Werte von t hat die Funktion f genau eine nullstelle: f(x) -xhoch2-6x+ t , f(x) 2xhoch2-4+t?

Es gibt zwei Möglichkeiten, das herauszufinden.

Wenn der Scheitelpunkt der Parabel auf der x-Achse liegt. Die Scheitelpunktform ist f(x) = a(x-xs)² + ys mit ys = 0.

Oder wenn bei der pq-Formel der Wert unter der Wurzel (Diskriminante) genau zu 0 wird. D = (p/2)²-q = 0 

f(x) = - x ^ 2 - 6 * x + t

- x ^ 2 - 6 * x + t = 0 | : (-1)

x ^ 2 + 6 * x - t = 0

Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

x _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = 6

q = -t

p / 2 = 3

(p / 2) ^ 2 = (3) ^ 2 = 9

x _ 1, 2 = - (3) - / + √( 9 – (-t) )

x _ 1, 2 = - 3 - / + √( 9 + t )

x _ 1 = -3 - √( 9 + t )

x _ 2 = -3 + √( 9 + t )

Wenn t = -9 ist, dann ist x _ 1 = x _ 2 und dann gibt es nur eine Nullstelle, auch wenn es eine sogenannte doppelte Nullstelle ist.

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f(x) =  2 * x ^ 2 - 4 + t

2 * x ^ 2 - 4 + t = 0 | + 4 und - t

2 * x ^ 2 = 4 - t | : 2

x ^ 2 = 2 - t / 2 | √(...)

x _ 1 = - √(2 - t / 2)

x _ 2 = + (2 - t / 2)

Wenn t = +4 ist, dann ist x _ 1 = x _ 2 und dann gibt es nur eine Nullstelle, auch wenn es eine sogenannte doppelte Nullstelle ist.

Hallo,

hier kannst Du mit der pq-Formel arbeiten, wobei nur der Ausdruck unter der Wurzel interessiert.

Bekanntlich findest Du die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form 
x²+px+q=0 über die Formel -p/2±√(p²/4-q)

Wenn p²/4-q>0, hat die Gleichung zwei Lösung, ist es gleich Null, hat sie nur eine Lösung; ist der Term kleiner Null, hat sie keine Lösung, jedenfalls keine reelle.

p und q kannst Du aber erst bestimmen, wenn die Gleichung in der Normalform vorliegt.

-x²-6x+t=0 muß erst mit (-1) multipliziert werden:

x²+6x-t=0.

Jetzt paßt es. p=6, q=-t

Wenn die Gleichung nur eine Lösung haben soll, muß p²/4-q Null ergeben:

36/4+t=0
9+t=0
t=-9

f(x)=-x²-6x-9 hat nur eine Nullstelle, nämlich für x=-3

Die andere Aufgabe kannst Du ebenso lösen, Du mußt die Gleichung allerdings duch 2 teilen, um auf die Normalform zu kommen:
x²-2+(1/2)t=0; 

p=-2, q=t/2

Herzliche Grüße,

Willy

f(x) = -x² - 6x - 9

f(x) = 2x² - 4x + 2