ist einee funktion injektiv wenn sie nur eine nullstelle hat?
ich soll untersuchen ob eine funktion injektiv ist. injektiv bedeutet ja dass die funktion zu jedem y wert ein x wert gibt
also soll ich jzt erste ableitung machen und dann auf nullstellen untersuchen oder wie untersuche ich das?
5 Antworten
Wenn sie injektiv ist, hat sie zwar nur eine Nullstelle, aber sie hat auch alle anderen Funktionswerte nur einmal.
Du musst den ganzen Funktionsterm nach x auflösen und gucken, ob es dabei Probleme mit dem Definitionsbereich gibt.
Ich ging nach der Fragestellung davon aus, dass die Nullstelle existiert, aber ansonsten hast Du natürlich recht.
Deine Bedingung ist zur Injektivität ist nicht ganz korrekt.
Es müsste lauten: Zu jedem y aus der Zielmenge gibt es höchstens ein x.
Wenn die Funktion mehr als eine Nullstelle hat, dann kann sie nicht injektiv sein (notwendige Bedingung).
Aber wenn sie genau eine eine Nullstelle hat, kann man keine Aussage über Injektivität treffen.
Bsp.: f(x) = x^3 + 2x^2 + 1 hat nur eine reelle Nullstelle, ist aber nicht injektiv, da für f(x)=1, sowohl x=-2 und x=0 infrage kommen und es damit mehr als ein x gibt.
Als Anmerkung (aus einer anderen Antwort):
Es gibt natürlich Funktionen, bei denen der Definitionsbereich so ist, dass gar keine Nullstellen existieren können, aber im Falle von "normalen" IR -> IR Funktionen, wie man sie aus der Schule kennt, ist das irrelevant.
Eine Funktion ist injektiv, wenn sie zu jedem y-Wert exakt nur einen x-Wert besitzt. Es dürfen also keine zwei x-Werte den selben y-Wert haben. Da ist deine Überlegung schon ganz richtig mit der ersten Ableitung, denn jede injektive Funktion ist monoton oder streng monoton steigend, weshalb die Ableitung maximal eine Nullstelle haben darf. Allerdings kann diese Nullstelle auch auf ein Maximum oder Minimum hindeuten, wodurch die Funktion nicht zwingend injektiv ist.
Hattet ihr keine Definition gehabt von injektivität, mit der du nachweisen/widerlegen kannst, ob sie injektiv ist?
danke, puuuh garkkeine ahnung mehr ich schau mal nach danke
Es gilt für eine differenzierbare Funktion f:(a,b) -> lR:
f ist streng monoton, genau dann wenn
(f‘ >= 0 oder f‘ <= 0)
und
sup{|f‘(x)| : x in I} > 0
für jedes echte Teilintervall I in (a,b).
Also die Ableitung einer streng monotonen Funktion darf auch mehrere Nullstellen haben.
Entscheidend ist hier, dass die Ableitung auf keinem echten Teilintervall in ihrem Definitionsbereich konstant den Wert 0 annimmt.
Deine Definition von Injektiv ist falsch.
injektiv ist
f(x) = f(y) => x = y
das heißt: unterschiedliche x-Werte haben immer unterschiedliche Funktionswerte.
Mit Nullstellen hat das nichts zu tun.
ist einee funktion injektiv wenn sie nur eine nullstelle hat?
nein
Injektive Funktionen können auch gar keine Nullstelle haben