Frage zu orthogonaler Abbildung?
Sei V ein reeller prähilbert Raum mit dem SP <*, *> und phi € End(V) heißt orthogonale Abb, falls:
<phi(v), phi(w)> = <v, w> für alle v,w € V.
Falls V endlich dimensional und B Basis von V, so ist die Darstellungsmatrix A_phi^{B, B} von phi orthogonal.
Wie beweise ich das?
Was auf Wikipedia steht finde ich bissl sus:
Die Sache ist ja, es gilt im Kontext von Darstellungsmatrixen:
K_B(phi(v)) = A_phi^{B, B} * K_B(v)
Setze ich das oben ein, müsste ich erst die Umkehrfunktion des Isomorphismus K_B anwenden (Das ist die, die die Koordinaten einer Basis B bezgl. gegebem Vektor ausspuckt), was dann im Skalarprodukt steht, damit kann ich nichts mehr anfangen und A^T * A = Id ist nicht mehr in Sicht.
1 Antwort
Bei Wikipedia steht Quatsch, sie verwenden das was sie zeigen wollen.
Man muss die Voraussetzung nutzen, um zunächst x^T y = x^T A^T A y zu zeigen. Dann setzt man für x und y Vektoren aus der Standard Standardbasis ein, also x = e_i und y = e_j. Das führt zum Ziel.
Wobei ich gerade merke, dass
phi(v) = B * Ax
(Wenn man B als Matrix interpretiert dann kann man es so umschreiben, denn die Matrix A liefert wenn von rechts multipliziert mit Vektor Koordinaten und kein Element aus V)
Das Problem ist, das funktioniert nur für V = R^n, für den V = R^n case kriege ich es bewiesen, weil man eine Basis B hat und per Orthogonalisierungsverfahren kriegt man die immer in eine ONB, nutzt man dann die und setzt es ins Skalarprodukt ein, nutzt das Standardskalarprodukt streicht sich die durch transponieren immer schön zur Einheitsmatrix weg.
mein Beweis nur funktioniert, wenn dim V = n und V kein UVR des R^n ist, nur dann erhält man mit der konstruierten ONB eine orthogonale n x n Matrix, wenn dessen Basisvektoren die Spalten dieser Matrix darstellen.
<phi(v), phi(w)> = <x, y>. Kann nicht nachvollziehen wieso das in einem beliebigem abstrakten Vektorraum immer noch stimmen soll.
Wenn ich es recht verstehe, wurde die Orthogonalität so definiert.
Das ist doch ein abstrakter VR mit Skalarprodukt, keinesfalls muss V der Form R^n sein?
Es wird in der Aufgabe die endliche Dimension vorausgesetzt.
Was nicht vorausgesetzt wird, dass es sich um eine Orthogonalbasis handlen muss. Das ist m.E. vergessen worden.
Es wird in der Aufgabe die endliche Dimension vorausgesetzt.
Was nicht vorausgesetzt wird, dass es sich um eine Orthogonalbasis handlen muss. Das ist m.E. vergessen worden.
Das wird jetzt interessant, genau hier ist mein Verständnisproblem.
Endliche Dimension. Das heißt, ich kann den abstrakten endlichdimensionalen Vektorraum V sozusagen auf R^n übertragen, da es einen Isomorphismus hierfür gibt und dann damit rechnen? Und hieraus folgt dann, dass es für den abstrakten VR selbst gilt, da ich es für R^n gezeigt habe?
Du kannst dir den R^n als Beispiel vorstellen, aber ich glaube nicht, dass alle n-dimensionalen Vektorräume zum R^n isomorph sind.
Die Voraussetzung ist immer so eine Sache.
<phi(v), phi(w)> = <v, w>
Ich sehe, das v und w umgeschrieben werden und man dessen Koordinaten zur Basis B = (b_1, ..., b_n) benutzt und diese x nennt.
Was ich auf jeden Fall sagen kann:
v = x_1 * b_1 + ... + x_n * b_n
phi(v) = B * Ax
(Wenn man B als Matrix interpretiert dann kann man es so umschreiben, denn die Matrix A liefert wenn von rechts multipliziert mit Vektor Koordinaten und kein Element aus V)
Das Problem ist, das funktioniert nur für V = R^n, für den V = R^n case kriege ich es bewiesen, weil man eine Basis B hat und per Orthogonalisierungsverfahren kriegt man die immer in eine ONB, nutzt man dann die und setzt es ins Skalarprodukt ein, nutzt das Standardskalarprodukt streicht sich die durch transponieren immer schön zur Einheitsmatrix weg.
Kurz gesagt:
<phi(v), phi(w)> = <x, y>. Kann nicht nachvollziehen wieso das in einem beliebigem abstrakten Vektorraum immer noch stimmen soll.
Und insbesondere ist mir nicht klar, wieso hier in Wikipedia auch die Definition des Standardskalarprodukts verwendet wird, also <a, b> = a^T * b, das stimmt ja nur für V = R^n, nicht für den allgemeinen abstrakten Vektorraum V.
In meinem Skript steht: ,,Sei V ein reeller prähilbert Raum mit dem SP <*, *> und phi € End(V) heißt orthogonale Abb, falls:"
Das ist doch ein abstrakter VR mit Skalarprodukt, keinesfalls muss V der Form R^n sein?
Übrigens, das hier ist der Wikipedialink gewesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Abbildung
Danke für deine bisherige Antwort :)