Fourier-Reihe von e^x?
Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Ich muss die Fourier-Reihe von der 2pi-periodischen Funktion f gegeben für xelement von 0-2pi durch f(x)=e^x berechnen. Und die Summe dieser Reihe. Für ao ist es einfach , aber für an und bn komme ich einfach nicht weiter , ich hoffe ihr könnt mir helfen
2 Antworten
Kennst du die Formeln für die Koeffizienten nicht, oder kannst du das Integral nicht auflösen?
Also eingesetzt ergäbe a_n = 1/pi * I (0->2pi) e^x * cos(nx) dx
Das integral kannst mit "doppelter" partiellen Integration auflösen, indem du zunächst cos(nx) als g'(x) und dann sin(nx) als g'(x) wählst. Dann kommst du für den Integral auf folgende Gleichung:
I e^x * cos(nx) dx = e^x / n^2 (n sin(nx) + cos(nx) - 1/n^2 I e^x * cos(nx) dx
Das kannst du dann nach dem gesuchten Integral auflösen, also nur noch + 1/n^2 I ... dx rechnen.
Hoffe das ist verständlich so, sonst einfach nochmals nachfragen :)
Vielleicht gibt es auch eine schnellere Version für den Integral, aber die ist mir in den Sinn gekommen...
Achso, ja ich benutze eigentlich immer die reale Darstellung, aber hier würde es mit der komplexen wohl etwas schneller gehen...
Dann hast du für den Koeffizienten:
c_n = I e^x*e^(-nix) dx = I e^(x-nix) dx = e^(x-nix) / (1-ni)
* das Integral noch mit 1/(2pi) multipliziert, und von 0 bis 2pi
Hey,
- a_k = 1 / π * ∫ e^t cos(kt) dt [0, 2π]
Das Integral kannst Du separat mithilfe der Produktregel ausrechnen (finde ich einfacher als das bestimmte Integral):
- u' = cos(kt) --> u = sin(kt) / k
- v = v' = e^t
- ∫ e^t cos(kt) dt = 1 / k * (e^t sin(kt) - ∫ e^t sin(kt) dt)
Nochmal die Produktregel:
- u' = sin(kt) --> u = -cos(kt) / k
- v = v' = e^t
- = 1 / k [e^t sin(kt) - (- (e^t cos(kt)) / k + (∫ e^t cos(kt)) dt) / k]
Aufgelöst nach dem Integral:
- ∫ e^t cos(kt) dt = [e^t (k sin(kt) + cos(kt))] / (k^2 + 1)
Man kann jetzt die Grenzen einsetzen und 1 / π als Vorfaktor wieder dranfügen. Es ergibt sich für a_k:
- a_k = (e^(2π) - 1) / (π (k^2 +1))
Analog für b_k als Integral b_k = 1 / π * ∫ e^t sin(kt) dt [0, 2π] nach zweifacher partieller Integration, Auflösen und Einsetzen:
- b_k = (k(1 - e^(2π)) / (π (k^2 +1))
Mit berechnetem a_0 ergibt sich für die Fourierreihe:
- Φ(t) = (e^(2π) - 1) / (2π) + ∑ (e^(2π) - 1) / (π (k^2 +1)) cos(kt) + (k(1 - e^(2π)) / (π (k^2 +1)) sin(kt) [k = 1, ∞]
Hier kannst Du Dir das nochmal schön grafisch veranschaulichen... Dreh mal mit dem Regler rum, um für verschiedene k unterschiedlich genaue Annäherung von e^t zu erhalten:
https://www.desmos.com/calculator/idt8c7lbwo
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LG. Kesselwagen
Die Fourier-Koeffizienten sind einfach, aber halt das Auflösen fällt mir schwer, habe auch im Internet recherchiert aber da gibt es nur über komplexe Zahlen.. Danke für den Tipp , ich werde mich später an die Aufgabe wieder ransetzten und melde mich