Frage von THEGAMEBREAKER, 74

Fourier-Reihe von e^x?

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Ich muss die Fourier-Reihe von der 2pi-periodischen Funktion f gegeben für xelement von 0-2pi durch f(x)=e^x berechnen. Und die Summe dieser Reihe. Für ao ist es einfach , aber für an und bn komme ich einfach nicht weiter , ich hoffe ihr könnt mir helfen

Antwort
von Australia23, 57

Kennst du die Formeln für die Koeffizienten nicht, oder kannst du das Integral nicht auflösen?

Also eingesetzt ergäbe a_n = 1/pi * I (0->2pi) e^x * cos(nx) dx

Das integral kannst mit "doppelter" partiellen Integration auflösen, indem du zunächst cos(nx) als g'(x) und dann sin(nx) als g'(x) wählst. Dann kommst du für den Integral auf folgende Gleichung:

I e^x * cos(nx) dx = e^x / n^2 (n sin(nx) + cos(nx) - 1/n^2 I e^x * cos(nx) dx

Das kannst du dann nach dem gesuchten Integral auflösen, also nur noch + 1/n^2 I ... dx rechnen.

Hoffe das ist verständlich so, sonst einfach nochmals nachfragen :)

Vielleicht gibt es auch eine schnellere Version für den Integral, aber die ist mir in den Sinn gekommen...

Kommentar von THEGAMEBREAKER ,

Die Fourier-Koeffizienten sind einfach, aber halt das Auflösen fällt mir schwer, habe auch im Internet recherchiert aber da gibt es nur über komplexe Zahlen.. Danke für den Tipp , ich werde mich später an die Aufgabe wieder  ransetzten und melde mich 

Kommentar von Australia23 ,

Achso, ja ich benutze eigentlich immer die reale Darstellung, aber hier würde es mit der komplexen wohl etwas schneller gehen...

Dann hast du für den Koeffizienten:

c_n = I e^x*e^(-nix) dx = I e^(x-nix) dx = e^(x-nix) / (1-ni)

Kommentar von Australia23 ,

* das Integral noch mit 1/(2pi) multipliziert, und von 0 bis 2pi

Antwort
von Kesselwagen, 25

Hey,

Du kannst die Koeffizienten natürlich auch reell berechnen. Für a_k:
  • a_k = 1 / π * ∫ e^t cos(kt) dt [0, 2π]

Das Integral kannst Du separat mithilfe der Produktregel ausrechnen (finde ich einfacher als das bestimmte Integral):

  • u' = cos(kt) --> u = sin(kt) / k
  • v = v' = e^t
  • ∫ e^t cos(kt) dt = 1 / k * (e^t sin(kt) - ∫ e^t sin(kt) dt)

Nochmal die Produktregel:

  • u' = sin(kt) --> u = -cos(kt) / k
  • v = v' = e^t
  • = 1 / k [e^t sin(kt) - (- (e^t cos(kt)) / k + (∫ e^t cos(kt)) dt) / k]

Aufgelöst nach dem Integral:

  • ∫ e^t cos(kt) dt = [e^t (k sin(kt) + cos(kt))] / (k^2 + 1)

Man kann jetzt die Grenzen einsetzen und 1 / π als Vorfaktor wieder dranfügen. Es ergibt sich für a_k:

  • a_k = (e^(2π) - 1) / (π (k^2 +1))

Analog für b_k als Integral b_k = 1 / π * ∫ e^t sin(kt) dt [0, 2π] nach zweifacher partieller Integration, Auflösen und Einsetzen:

  • b_k = (k(1 - e^(2π)) / (π (k^2 +1))

Mit berechnetem a_0 ergibt sich für die Fourierreihe:

  • Φ(t) = (e^(2π) - 1) / (2π) + ∑ (e^(2π) - 1) / (π (k^2 +1)) cos(kt) + (k(1 - e^(2π)) / (π (k^2 +1)) sin(kt) [k = 1, ∞]

Hier kannst Du Dir das nochmal schön grafisch veranschaulichen... Dreh mal mit dem Regler rum, um für verschiedene k unterschiedlich genaue Annäherung von e^t zu erhalten:

https://www.desmos.com/calculator/idt8c7lbwo

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LG. Kesselwagen

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