Flächeninhalt Mathe?
Ein Rancher hat noch 200m Zaum und will mit der bereits vorhandenen 40 m Mauer eine möglichst große rechteckige Fläche. Wie groß ist dann die fläche?
8 Antworten
Fläche eines Rechtecks:
A = a*b
Umfang eines Rechtecks:
U = 2a+ 2b
Wenn man annimmt, dass man die Mauer mit dem Zaun "verlängern" darf, ergibt sich, dass man insgesamt 240 Zaun zur Verfügung hat.
240 = 2a + 2b
Man halt folgendes GS:
A = a*b
240 = 2a + 2b
Wenn man
240 = 2a + 2b
umformt (-2b und :2) erhält man:
a = 120 - b
Das kann man in
A = a*b
einsetzen
A = (120 - b)*b
A = 120b - b²
Die Fläche A ist von der Seitenlänge b abhängig. Man kann auch
A(b) = 120b - b²
schreiben.
Und wie man von so einer Funktion das Maximum errechnet, sollte bekannt sein. Ich setze die 1. Ableitung = 0:
A(b) = 120b - b²
1. Ableitung
A'(b) = 120 - 2b
soll 0 sein
0 = 120 - 2b |+2b
2b = 120 |:2
b = 60
Jetzt die Seitenlänge a berechnen, ich nehme dafür die umgeformte Form
a = 120 - b
a = 120 - 60
a = 60
.
Die Fläche des Rechtecks kann man auch zwei verschiedene Arten berechnen. Die Seitenlängen sind beide bekannt, man kann diese in
A = a*b
einsetzen
A = 60*60
A = 3600 [m²]
Oder man nutzt diese Funktion:
A(b) = 120b - b²
b = 60 einsetzen
A(60) = 120*60 - 60²
A(60) = 7200 - 3600
A(60) = 3600 [m²]
Zähle die 40m Mauer als "Zaun", damit hast Du 240m "Begrenzung".
Ein Quadrat ist auch ein Rechteck und hat die größte Fläche bei kleinstem Umfang.
240m / 4 = 60m
A = (60m)² = 3600m²
U = 2 • (a + b)
b = U / 2 - a
A = a • b = a • (U/2 - a)
maximale Fläche: A' = 0 = (U/2 - a) - a
2 • a = U / 2
a = U / 4 = 240m / 4 = 60m
b = U / 2 - a = 120m - 60m = 60m
Möglichst große Fläche geht hier garnicht, weil die Fläche durch Rechteckigkeit und 40m-Mauer vorgegeben ist! die 40m Zaun müssen parallel zur mauer sein und damit bleiben 160m für die 2 begrenzungszäune übrig, also 80m je Linie!
Großer Irrtum von mir, 1. Gedanke war auch das Quadrat und das erhält man ja auch durch Verlängerung der Mauer, aloo 200m Zaun + 40m Mauer sind 240m Umfang durch 4 gleiche Seiten = 60m je Seite!
Ein Rechteck mit größtmöglicher Fläche bei vorgegebenem Umfang, das ist IMMER ein QUADRAT.
Insgesamt hast du 200m + 40m = 240m Umfang. Das zugehörige Quadrat hat also die Seitenlänge 240/m4=60m
Die Fläche beträgt also 60m•60m = 3600m²
Müsst ihr das herleiten, oder dürft ihr wissen,
dass ein Quadrat die maximale Fläche bei
gegebenem Umfang hat?
Ich dachte, es geht um ein Rechteck