Extremwertaufgabe Bitte Hilfe!
Kann mir bitte jemand helfen bin am verzweifeln
ich muss eine Aufgabe bearbeiten
Aus einem dreieckigen Frett der nabenenstehend gezeigten Form soll eine möglichst große rechteckige Platte geschnitten werden. Welchen Flächeninhalt hat diese? Verwenden Sie bitte die 6 Schritte Methode!
ist ein halbe Dreieck Höhe= 60cm B= 40CM
4 Antworten
- 1.Schritt: Zeichnung machen (kannst du machen)
Wenn das so laufen soll wie in dem Video, dann ist das Brett ein rechtwinkliges Dreieick ABC, wie Ellejolka zutreffend vermutet.
Standardmäßig werden die Punkte eines rechtwinkligen Dreieick so bezeichnet, dass C der Scheitel des rechten Winkels ist, und so, das die Reihenfolge A,B,C der Punkte gegen den Uhrzeigersinn läuft. Also ist CA = Breite = 40, BC = Höhe = 60 (jeweils cm).
Tipp: Wenn du schnell Geometrie- Auskunft im Internet haben willst, dann verwende die standardmäßige Bezeichnung von Punkten, Strecken, Winkeln. Das findest du unter >http://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck. - Weitere Quellenangaben (wo findest du etwas?) schreibe ich in Kommentare, weil gutefrage.net nur eine Quellenangabe pro Antwort akzeptiert.
Standardmäßig werden in einem beliebigen Dreieck die Seiten nach den gegenüberliegende Punkten benannt. Ich verwende hier aber deine (anschaulicheren) Bezeichnungen. Dann ist Seite BC = Höhe H = 60; Seite AC = Breite B = 40.
- 2.Schritt: Zielfunktion erstellen
Das Rechteck soll (wie im Video) die Maße x (waagrecht) und y (senkrecht) haben. Dann hat, auch wie im Video, das gesuchte Rechteck den Flächeninhalt A = xy (1)
- 3.Schritt: Nebenbedingung erstellen
Das geht wie im Video mit Strahlensatz. Diesmal ist
y / (B-x) = H / B; | * (B-x)
y = H * (B-x) / B =
H * (B/B - x/B) =
H * (1 - x/B); (2)
Klarmachen: B, H sind festliegende Zahlen. Ich finde beim Weiterrechnen einfacher, sie Buchstaben sein zu lassen. Das ist schneller zu schreiben und gibt keine Rundungsfehler.
- 4.Schritt: Zielfunktion in einer Variable erstellen
Einsetzen von (2) in (1):
A = xy =
x ( H * (1 - x/B) ) =
x ( H - Hx/B) =
-Hx²/B + Hx;
- 5.Schritt (ist nicht im Video; wahrscheinlich: ) Bestimmung des Maximums der Zielfunktion in einer Variable
Die Zielfunktion
A = (-H/B)x² + Hx
ist eine Parabel. Sie ist nach unten geöffnet, weil -H/B eine negative Zahl ist. (Zur Anschauung siehe Kommentar.). Also ist ihr Scheitel das gesuchte Maximum.
Für den x-Wert des Scheitels einer Parabel
y = ax² +bx +c
gibt es eine Formel, nämlich
x = -b/(2a).
Bei deiner Zielfunktion ist nun a = (-H/B), b = H (und c = 0, das ist hier aber unwichtig), wie du durch Vergleich abliest. Also ist
x = -H / ( 2 * (-H/B) ) =
Nenner des Nenners ist im Zähler:
-H * B / (2 * (-H) ) =
(-H) kürzen:
B / 2;
das ist eine "Spezialformel" für dein Brett (und alle ähnlichen Bretter). Erstaunliches einfaches Ergebnis: Genau die halbe Breite B des Dreiecks ist optimal. - Wert einsetzen:
x = 40 / 2 = 20 (cm)
Wenn du die Höhe des Rechtecks bestimmen willst geht das mit der Gleichung (2), also
y = H (1 - x/B) =
H (1 - (B/2) / B) =
B kürzen:
H (1 - 1/2 ) =
H/2, also y = 30 (cm)
Wenn du noch den Flächeninhalt ausrechnen willst, geht das mit Gleichung 1). - Es ist kein Zufall, dass auch die halbe Höhe H des Dreieicks als optimale Höhe heraus kommt. Denn du hättest das Dreieck auch einfach anders hinlegen können: dann wäre die Höhe die Breite und die Breite die Höhe gewesen. Also bestätigt diese Rechnung noch einmal das Ergebnis der Optimierungsrechnung.
- 6.Schritt (?) Ergebnis insgesamt aufschreiben:
Das optimale Rechteck hat eine Breite von 20cm und eine Höhe von 30cm.
Deine Zielfunktion
A = (-H/B)x² + Hx = (-60/40)x² +60x
kannst du angucken, wenn du
(-60/40)x² +60x =
bei >http://www.wolframalpha.com/ eingibst. Dort findest du auch den Scheitel unter "Maximum".
Mehr über Parabeln findest du unter >http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Funktion. Die kommen häufiger in der praktischen Mathematik vor.
Die Formel für x- und y-Wert eines Parabelscheitels steht in >http://de.wikipedia.org/wiki/Scheitelpunkt#Scheitelpunktform
-b/(2a) kann ich mir so merken.
Der Zähler von (4ac -b²) / (4a) geht so wie der Term unter der Wurzeln b² -4ac in der abc-Formel (die brauchst du sowieso), nur mit den entgegengesetzten Vorzeichen.
Den Nenner von (4ac -b²) / (4a) merke ich mir so, dass man 4ac auch kürzen kann, und nur c übrig bliebt , also (4ac -b²) / (4a) = c - b²/(4a)
A. Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, wie Ellejolka annimmt, dann geht das auch so, wie sie/er schreibt. Allerdings geht diese Voraussetzung nicht aus der Aufgabenstellung hervor.
Kannst du das Brett abfotografieren und das Foto hier einstellen, oder es so beschreiben, dass es jemand versteht, der es nie sah? Ich weiß beim besten Willen nicht, was ein "halbes Dreieck" sein soll.
B. Was eine "6-Schritte-Methode" ist, ist auch nicht unbedingt allgemeinverständlich (auch Google lässt mich im Stich).
Mit ein halben Dreieck meine ich dass das Dreieck auf der eine Seite wo sie 60cm ist ein 90 Grad Winkel hat.
http://www.youtube.com/watch?v=l3bvHfgqgCE
Guckt euch mal bitte das Youtube video an da wird die 6 Schritte Methode erklärt nur mein Dreieck ist in dem Video in Schritt 3 zusehen da wo er das Dreieck halbiert. Also aus ein Dreieckigen Brett Zoo ein möglichst große Rechteck geschnitten werden.
mach ne Skizze; und ins rechtwinklige Dreieck ein Rechteck, sodass die eine Ecke auf der Schrägen liegt; dann Strahlensatz als Nebenbedingung; y/40 =(60-x)/60 und nach y aulösen; dann in A=x•y fürs y einsetzen; dann A ' = 0 usw
was ist ein Frett? wo ist B; wo ist Hypotenuse?
sry ich wollte Brett schreiben