Faktoriesieren von Polynomen mit Hilfe der Zerlegungsformel. Hilfe!
Hallo :)
Und zwar war ich ne Woche krank wegen einer Op und in der Zeit wurde ein Thema behandelt welches ich mir selbst nicht wirklich erschließen kann und zwar das Faktorisieren. Einfache Gleichungen sind kein Problem. Substitution kann ich auch nur die quadratische Ergänzung und das Zerlegen von Polynomen der Form p(x)=x^6-1 fällt mir noch schwer.
Ich würde mich freuen wenn mir jemand erklärt wie man Polynome der Form (a^n +- b^n) in die einzelnen Faktore zerlegt. Am besten am oben genannten Beispiel (p(x)=x^6-1). Das Ergebnis ist p(x) = (x + 1)·(x - 1)·(x^2 + x + 1)·(x^2 - x + 1) bevor es wieder heißt Hausaufgaben fragen etc. (Die Lösung ist aus dem Untericht jedoch hab ich es nicht verstanden und der Lehrer meinte ich solle es mir selbst beibringen da ich ja krank war :/).
Die Formel die wir bekommen haben ist: p(x) = (a^n - b^n) = (a-b) (a^n-1 - a^n-1 * b-ab^n-1 - ... - b^n+1)
Wie ich die anwenden soll weiß ich nicht...
Hoffe das mir hier jemand hilft und vllt. mir Tipps geben kann wie ich mich darin verbessern kann. Also wo es Übungen gibt etc.
LG
PS. "^" steht für "hoch"
3 Antworten
Ich habe den Eindruck, dass Ihr Euch in dieser Woche mit der Polynomdivision beschäftigt habt; sicher bin ich mir nicht. Vielleicht schaust Du mal im Buch danach. Die PD hier zu erklären ist - glaube ich - zu aufwändig.
Mit der PD würdest Du zwar auf die beiden ersten Faktoren (x + 1) und (x - 1) kommen. Damit würdest Du auf die Zerlegung x^6 - 1 = (x + 1)·(x - 1)·(x^4 + x^2 + 1) kommen. Wie Du die letzte Klamer dann in die beiden Klammern zerlegen sollst, die Du angegeben hast, kann ich Dir momentan auch noch nicht sagen. Dabei hilft Dir jedenfalls die Formel, die Ihr bekommen habt, auch nicht weiter.
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formel guck hier mal genau nach
Ich komme auch ohne Polynomdivision aus.
Die Formel lautete in geschlossener Form
(a^n - b^n) / (a -b) = ∑ a^(n-1-k) b^k, wobei k = 0,...,n-1 .
Beispiel (für a = x, b = 3 und n = 4).
(x^4 - 81) / (x -3) =
x³ + 3x² + 3²x + 3³ =
x² + 3x² + 9x + 27
Eigentlich nicht schwer (aber sehr nützlich z.B. zum Herleiten der Summenformel für die geometrische Reihe).
x^6 - 1 = (x³ -1)(x³ +1); (dritte binomische Formel).
(x³ -1) / ( x -1) = x² +x + 1 (angegebene Formel);
(x³ -(-1)) / ( x -(-1)) = x² -x +1 (angegebene Formel);
durch Betrachtung der Scheitelpunktformen der Funktionen
y = x² +x +1 = (x +1/2)² +3/4 und
y = x² -x +1 = (x -1/2)² +3/4
ist zu erkennen, dass diese Funktion keine reellen Nullstellen hat → keine weitere Zerlegung der Form (x -a)(x -b) mit reellen Zahlen a,b möglich.
Also kommt insgesamt die von dir angegebene Zerlegung heraus.