faktorisieren von Binomen?

Ich verstehe nicht wie ich auf die Summe der mittleren Zahl kommen kann. Muss man ausprobieren oder gibt es da einen weg?
Beispiel:

2p³-6p²-80p

2p(p²-3p-40)

2p(p²+5p-8p-40)

2p (p(p+5)-8(p+5))

Lösung: 2p (p+5)(p-8)
Meine Frage ist: wie komme ich auf diese markierten zwei Zahlen? Ich meine ich könnte auch -2p-p machen wäre auch -3p. wie muss ich dass herausfinden, welche zwei zahlen es sind?
Danke für eure Antwort.

Answer 1

[ethan227]

Hi, ninabella13. ^^

Nachdem Du schon 2p daraus ausgeklammert hast, musst Du einfach zwei Zahlen raten, aus denen man -40 nach der Multiplizierung und -3 nach dem Addieren bekommt. Sehe mal ein Beispiel der Formel daunten :

$x^2\ +\ \left(\ a\ +\ b\right)x\ +\ ab\ =\ \left(\ x\ +\ a\right)\left(x\ +\ b\right)$ Die Faktoren von 40 sind 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, und 40. Aus dieser Aussage können wir zustimmen, dass es eine positive und negative Zahl geben könnte, die wir zusammen addieren sollten. Jetzt versuchen wir es :

1, -40 - stimmt nicht

2, -20 - stimmt nicht

4, -10 - stimmt nicht

5, -8 - stimmt

Jetzt werden wir das schon als

$2p\left(p^2\ +\ 5p\ -\ 8p\ -\ 40\right)$ $2p\left(p\left(p\ +\ 5\right)\ -\ 8\left(p+5\right)\right)\ =\ 2p\left(p+5\right)\left(p-8\right)$ schreiben, was das gewünschte Ergebnis wäre. Nicht alle Polynomen, bzw. Trinomalen haben eine ganzzahlige Lösung dafür, weswegen Du die quadratische Formel oder pq-Formel nutzen solltest.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik ist seit langem mein Lieblingsfach.🧮

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

daß sich 2p ausklammern läßt, sollte leicht zu sehen sein.

Das führt zu 2p*(p²-3p-40).

Um den Rest zu faktorisieren, überlegst Du, welche beiden Zahlen -40 ergeben, wenn man sie miteinander multipliziert, und -3, wenn man sie addiert.

Du suchst nach Faktoren von 40, die sich um 3 unterscheiden und spielst dann noch etwas mit den Vorzeichen herum.

Es sollte nicht schwierig sein, auf 5 und 8 zu kommen, zwischen denen ein Unterschied von 3 besteht und deren Produkt 40 ist.

Du brauchst aber -40, daher ist es entweder -5*8 oder 5*(-8).

Die Addition muß -3 ergeben. -5+8=3, paßt also nicht. 5-8=-3. Das paßt.

Also 2p*(x+5)*(x-8) ist das gewünschte Ergebnis.

Nicht immer geht es so einfach, weil sich nicht immer glatte Faktoren ergeben. In diesem Fall Nullstellen suchen (etwa mit der pq-Formel), dann Polynomdivision durch (x-Nullstelle).

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 3

[GuteAntwort2021]

Hallo.

Zunächst wurden 2p ausgeklammert. Also teilst du alles in der Klammer durch zwei und ziehst ein p ab:

2p³ - 6p² - 80p = 2p(p² - 3p - 40)

Als nächstes wurde dann ermittelt, welche beiden Zahlen zusammenaddiert -3 und multipliziert -40 ergeben:

x + y = -3
x * y = -40
.................
-3 - y = -40 / y | * y
-3y - y² = -40
y² + 3y - 40 = 0
y = -1,5 +- Wurzel(42,25)
y = -1,5 +- 6,5
y = {5; -8}

Womit du dann die nächste Zeile aufstellen kannst:

2p(p² - 3p - 40) = 2p(p² + 5p - 8p - 40)

Und das kannst du dann wieder entsprechend ausklammern:

2p(p² + 5p - 8p - 40) = 2p(p+5)(p-8)

Und zur Kontrolle dann wieder zusammenfügen:

2p(p+5)(p-8) = 2p(p² -8p + 5p - 40) = 2p(p² - 3p - 40) = 2p³ - 6p² - 80p

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Answer 4

[Rhenane]

Um x²+ax+b zu (x+d)(x+e) machen zu können, muss d+e das a ergeben und d*e das b (nach "Satz von Vieta"). In diesem Fall ergibt 5-8=-3 und 5*(-8)=-40.

D. h. am besten schaust Du zuerst mit welchen Faktoren (macht man in der Regel nur mit ganzen Zahlen) Du an die -40 kommst, und dann prüfst Du, ob diese Faktoren addiert die "mittlere" Zahl (hier -3) ergeben.