f : (0;unendlich) -> R : x -> 1/x, lim t ->o f(t) = unendlich?
wie kann ich das zeigen? ich habe keine ahnung wie ich anfangen soll
danke für jede hilfe
5 Antworten
wenn der Term 1/t lautet, dann ist doch klar, wenn t gegen 0 geht, dass dann der Term gegen unendlich geht? Teile 1 durch eine immer kleiner werdenden Zahl. Es kommen immer mehr größere Zahlen heraus.
Mir hat mal ein Mathematiker gesagt, ein
"das heißt" habe ihn zwei Wochen und
anderthalb Seiten seiner Doktorarbeit gekostet.
Nein, nicht "fertig". Das ist keine Beweisführung und nach einer solchen wurde hier gefragt.
Alternativer Vorschlag: Betrachte beliebige Folgen (x_n) in (0,inf)^IN, die gegen 0 konvergieren und zeige, dass dann 1/x_n gegen unendlich konvergiert (wichtig ist dann also wirklich, dass (x_n) irgendeine Folge ist, die sich in dieser Menge befindet und gegen 0 konvergiert).
Hallo,
die mathematisch korrekte Vorgehensweise, die gfntom gegeben hat, lautet "umgangssprachlich": f(x) = 1/x übersteigt jede vorgegebene positive Zahl, wenn x nur "nahe genug an 0" ist.
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%29#Argument_endlich,_Grenzwert_unendlich
Man kann den Beweis so formulieren:
Sei eine reelle Zahl T > 0 vorgegeben.
Sei δ = δ(T) := 1/T
Dann gilt:
Aus 0 < |x - 0| < δ folgt
0 < |x - 0| = |x| = x < 1/T => T < 1/x , also f(x) = 1/x > T (q.e.d.)
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Wie kommt man auf dieses δ ?
Ganz einfach: man löst in einer Nebenrechnung die Ungleichung 1/x > T nach x:
1/x > T | : T
1/(Tx) > 1 | • x
1/T > x
1/T ist dann das gesuchte δ; man definiert δ := 1/T
Nun kann man noch x durch x - 0 ersetzen und in Betragsstriche schreiben und größer Null voraussetzen (Null ist ja für x nicht zugelassen):
0 < x = |x - 0| < δ
Durch "rückwärts rechnen" findet man f(x) = 1/x > T wieder, das was zu zeigen war.
Diese Nebenrechnung lässt man in der Argumentation (dem Beweis) weg. Auch in Büchern wird sie so gut wie nie gezeigt, so dass man sich oft fragt: wie kommen die auf so ein δ, dass es dann genau passt? Es sieht so aus, als hätte der Autor durch Genialität und Intuition das richtige δ "erraten".
Nein, er hat so eine banale Rechnung gemacht und sie dann verschwiegen. ;-)
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Die Schwierigkeit liegt hier nicht in den Rechnungen, sondern in den Definitionen und ihrer korrekten Anwendung, da sie für den Anfänger recht abstrakt sind.
Gruß
- statt „lim x->0 f(x)“ darf man auch schreiben: „lim h->oo f(1/h)“...
- also hier: „lim h->oo 1/(1/h) = lim h->oo h = oo“
- das ist sone Limes-Rechenregel, deren Beweis irgendwie mal vorgekommen sein sollte... vllt im Lehrbuch? oder Skript? oder der Mitschrift?
- https://www.onlinemathe.de/forum/Grenzwert-gegen-0-bestimmen
Du musst zeigen, dass es für jede beliebige große, reelle, aber endliche Zahl T ein (normalerweise von T abhängiges) δ>0 gibt, so dass für beliebige x-Werte für die gilt 0 < | x-p | < δ, auch erfüllt ist f(x)>T.
p ist hierbei der Wert gegen den x (oder in deinem Fall: t) läuft, hier also 0.
Hilft das?
"dann ist doch klar" klingt nicht besonders mathematisch.