Extremwertaufgaben Käse?
Kann mir jemand bei dem Extremwertaufgabenbeispiel helfen?
Angabe: Eine neue Käsekreation soll auf einer Messe in Käseglocken präsentiert werden, die die Form einer Halbkugel mit einem Durchmesser von 20 cm haben. Der Käselaib soll in einer annähernd zylindrischen Form produziert werden. Damit der Käse an der Käseglocke nicht anstößt, soll zwischen dem Käse und der Glocke ein Freiraum von 1 cm bleiben. Welchen Durchmesser und welche Höhe muss der Käselaib haben, damit ein möglichst großes Stück untergebracht werden kann?
Lösungen: d=14.969, h=5.196
Ich versteh einfach nicht wie man auf die Höhe kommen soll, wenn dozu keinerlei Angaben gemacht wurden. Kann mir jemand helfen?
LG Etnirp
1 Antwort
Die Glocke ist vorgegeben DG. Wir suchen den Käsedurchmesser DK und die Käsehöhe HK.
Möglichst großer Käse: VK = DK^2*pi*HK = max (#)
Der käse liegt zentriert auf dem Boden der Glocke.
Ziest du vom Mittelpunkt des Bodens den Radiuspfeil zur Glocke so, dass dieser den äußersten Rand des Käses durchsticht, dann sei dies RG und für diesen Durchstichpunkt gilt:
Wurzel(HK^2+RK^2) + 1cm = RG
Jetzt nach HK oder DK auflösen und in (#) einsetzen . . . dann solltest du zum Ergebnis kommen.
Danke für die Rückmeldung... ich probier morgen mal die Lösung.... heute eher nicht mehr, hab mir grad ein Glaserl Rotwein + KÄSE aber ohne Glocke gegönnt :-)
Meine Bierlatenz ist auch schon etwas hoch :)
Knobel hier schon fast 1 std an der Aufgabe
Aber irgendwie komme ich nur auf Schrott oder nicht lösbar.
Aber scheinbar muss es ja eine Lösung geben.
Lasse dir Wein und Käse schmecken ;)
Die Lösung meines Vorschlages hab ich aufgegeben >> die Wurzen rauf und runter sind einfach nicht zu handhaben.
Neuer Vorschlag:--- der scheint zu klappen!
Ausgang: Käsezylinder. Höhe hk, Radius rk. Aus rk und hk bilden wir das Dreieck, dessen Hypothenuse in der Verlängerung den Glockenradius bildet.... > Die Hypo soll gem Aufgabenstellung 9cm haben (Glockenradius - 1cm) = RX
Nun drücken wir das Volumen des Käses in Abhängigkeit vom Winkel @ aus....sozusagen in "Polarkoordinaten" und erhalten für das Käsevolumen
Vk = hk * rk^2 * pi
hk = RX*sin@
rk = RX*cos@
Damit: Vk = RX*sin@ * RX^2*cos^2@ * pi
= RX^3 * pi * sin@*cos^2@
dVk/d@ = RX*pi* (cos@*cos^2@ + sin@*2*cos@*(-sin@))
= RX*pi* (cos@*cos^2@ - 2*sin^2@*cos@) =0!!
>> cos^3@ - 2*sin^2@*cos@ = 0 / cos
cos^2@ - 2*sin^2@ = 0 / sin^2
cos^2@ / sin^2@ - 2 = 0
>> cot @ = 1/wurzel(2) >> tan@ = wurzel(2)
daraus >> @ = 35,3 grad.
Mit diesem Winkel erhält man
hk = 5,2 cm und rk = 7,34cm (dk=14,68cm) >>> trifft also nahezu die Lösung, vielleicht noch eine ungeschickte Rudung im Spiel
halt... noch ein Abschreibfehler: es muss lauten:
cos^2@/sin^2@ =2
also
cot@ = wurzel(2) = 1,4142 >> @=35,25Grad
Hatte einen Ähnlichen Gedankengang kam aber nach der Differenzierung
dV/dR auf ein genauso widerliches Ergebnis von quasi
RK * 0,5 * 1/sqrt({arg}) * (-RK)
für das Max.
0 = dVK / dRK (VK)
ist das händische Finden der Nullstelle eigentlich nur sehr schwer möglich.
Oder habe ich da einen Fehler ?