Extremwertaufgabe?
Ein Landwirt möchte einen neuen Getreidesilo bauen, der die Form eines Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel haben und 80m^3 Getreide fassen soll. Die gesamte Innenfläche des Silos soll mit einem teuren Isolationsmaterial isoliert werden.
Untersuchen sie, ob es Maße für die geplante Form gibt, bei denen die Kosten für die Isolation möglichst gering sind.
Ich habe die Extremalbedinung aufgestellt:
V= pi•r^2•h+2/3pi•r^3. A= 2pi•r^2•(r+h) + 4pi•r^2
Ich benötige nur die Nebenbedinung
2 Antworten
Ich benötige nur die Nebenbedinung
Nein, du benötigst auch eine Korrektur:
A = Grundfläche πr^2 + Kreisumfang mal Höhe = 2πr * h plus Fläche Halbkugel = 2πr^2
Damit:
A = 2πr * h + 3πr^2
Hauptbedingung: A = min. ⇒ A' = 0; A'' > 0
Nebenbedingung:
V = 80 m^3 = π * r^2 * h + 2/3 π * r^3
⇒ h = (80 - 2/3 π * r^3) / π * r^2
h in A einsetzen, vereinfachen, ableiten etc. ....
Die Nebenbedingung ist das Volumen von 80 m³
Du löst 80 = pi•r^2•h+2/3pi•r^3 nach h auf und setzt es in A ein. Dann hast du A in Abhängligkeit von r und minimierst das. Am Ende kannst du h und r angeben.
V ist keine Extremalbedingng. Das ist ja mit 80 vorgegeben und fest. A soll minimal sein, damit man wenig Isoliermaterial benötigt.
Bist du dir bei A sicher? Da passen die Dimensionen nicht r² * (r+h) gäbe Kubikmeter.
Grundfläche pi r² + Mantel 2 pi r h + Halbkugelfläche 2 pi r² = 3 pi r² + 2 pi r h
Die sich ergebende Funktion A(r) = 5(pi r³ + 96)/(3 r) hat ein Minimum bei
r = 3.Wurzel(48/pi) = 2,4814
Ich hoffe mal, dass ihr das mit dem GTR bestimmen dürft ;-)
Ich habe WolframAlpha benutzt: https://www.wolframalpha.com/input/?i=3+pi+r%C2%B2+%2B+2+pi+r+%2880%2F%28%CF%80+r%5E2%29+-+%282+r%29%2F3%29
Ich komme aber leider nicht weiter wenn ich nach h auflösen soll wenn ich 2/3 pi r^3 + pi r^2 h = 80
2/3 pi r^3 + pi r^2 h = 80
pi r^2 h = 80 - 2/3 pi r^3
h = 80/(pi r^2) - 2r/3
Und warum macht man 80/pi r^2 .... und nicht 80-2/3 pi r^3 / pi r^2 ?
Kannst du auch. Ist vielleicht beim Einsetzen in A sogar von Vorteil.
Also muss ich die Extremalbedingung V nehmen und =80m^3 scvreiben?