Extremalproblem Aufgabe?
Wie löst man diese Aufgabe
1 Antwort
Hallo,
bei der ersten Aufgabe reicht es, das halbe Rechteck zu maximieren, also den Teil rechts der y-Achse. Der ist genauso groß wie der Teil links davon. Wenn eine Hälfte maximal wird, dann sind es auch beide Hälften.
Die Breite des halben Rechtecks ist x, die Höhe der Funktionswert der Geraden, auf der die rechte Seite des Dreiecks liegt. Da das Dreieck 7 cm hoch ist und auf der rechten Seite bis x=1,5 geht, ist die Steigung -7/1,5, also -14/3, während der y-Achsenabschnitt 7 ist.
Gleichung demnach y=7-(14/3)x.
Fläche des halben Rechtecks ist x*(7-(14/3)x)=7x-(14/3)x².
Ableiten nach x: f'(x)=7-(28/3)x.
Gleich Null setzen, um so den Wert für das Maximum zu erhalten:
(28/3)x=7, daher x=3/4.
Die andere Aufgabe geht im Prinzip genauso, nur, daß hier keine Rechtecksfläche, sondern das Volumen eines Quaders gesucht wird.
Die Skizze links entsteht, wenn man die Pyramide rechts von der Spitze an senkrecht nach unten durchschneidet.
Auch hier ist die Höhe des Quaders über die Geradengleichung y=7-(14/3)x mit seiner Breite verbunden.
Wenn wir den kompletten Quader betrachten, ist seine Grundfläche (2x)²=4x², während seine Höhe 7-(14/3) x ist.
Volumen ist Grundfläche mal Höhe, also 4x²*(7-(14/3)x)=28x²-(56/3)x³.
Abgeleitet ergibt das 56x-56x².
Das kann man durch 56x teilen, womit eine Nullstelle bei x=0 liegt (logischerweise das Minimum, nach dem hier nicht gefragt ist), dann bleibt x=1 als Lösung für das Maximum.
Herzliche Grüße,
Willy
Zielfunktion ist x*y, also die Grundfläche des Gewächshauses. Die soll maximal werden. Nebenbedingung ist die Kostenfunktion. Mit Hilfe der Nebenbedingung kann man y in Abhängigkeit von x ausdrücken (oder umgekehrt), so daß die Zielfunktion nur noch von einer Variablen abhängt. Nach der kann man dann ableiten und die Ableitung gleich Null setzen.
Ich selbst habe mit dem Lagrange-Operator gearbeitet und partiell abgeleitet; das lernt man aber nicht im Schulunterricht.
Können Sie bei meiner letzten Frage vorbeischauen ?
Danke. Muss ich aber nicht zuerst x mit der gleichung multiplizieren? Weil A=xy und y ist ja die gleichung