Exponentialfunktion Tagente?
Hallo, ich schreibe bald eine Klausur zu diesem Thema und komme bei einer Aufgabe (ohne Taschenrechner) gar nicht mehr weiter. Ich verstehe es nicht
6 Antworten
Hallo,
erstmal vorab berechnen wir den Punkt f(1)=0,5e^1=1,36
a) Du schaust dir die Steigung an im Punkt (1 | 1,36). Dafür bildest du zuerst Ableitung f'(x)=0,5x^e. Du siehst, die Ableitung f'(x) ist hier gleich wie die Funktion f(x). Die Ableitung einer e-Funktion bleibt gleich. Der Vorfaktor (Koeffizient) 0,5 wird einfach mitgeschleppt.
Dann setzt du in die Ableitung die Stelle ein. "Stelle" ist der x-wert aus dem Punkt (1 | 1,36), also 1.
f'(x)=0,5*e^1=1,36. Das ist jetzt auch wieder Zufall, dass das was hier rauskommt, also 1,36 als Steigung in der Stelle 1, mit dem y-Wert des Punktes übereinstimmt, also nicht verwirren lassen.
Jetzt haben wir die fast Gleichung für die Tangente. Wir kennen schonmal die Steigung 1,36, also geht die Gleichung los mit g(x)=1,36x. Aber jetzt müssen wir diese Tangente noch hoch oder runter schieben, sodass sie exakt unseren Punkt trifft. Dafür setzen wir den Punkt ein, in die Tangentengleichung mit unbekanntem y-Achsenabschnitt. Das geht so:
g(x)=1,36x+n mit dem Punkt (1 | 1,36). Wir versuchen also noch n zu bestimmen.
1,36=1,36*1+n
Dann lösen wir auf nach n
n=0
also lautet die Tangentengleichung:
g(x)=1,36x
Ist das Ergebnis bzw. die Tagentengleichung am Ende trotzdem richtig?
Bei der a) musst du die Funktion f ableiten und dann 1 in die Ableitungsfunktion einsetzen. Damit kriegst du dann die Steigung der Tangente raus. Dann stellst du mit dem Ansatz y =mx + t die Tangente auf, bei dem y = f(1), x=1 und m die Steigung ist und dann bekommst du t raus und hast die Tangente raus.
Bei b) skizzierst du den Graphen und zeichnest halt deine Tangente ein.
Bei c) musst du halt das Integral von 0 bis 1 mit f(x) - Tangentengleichung machen oder Tangentengleichung - f(x) je nachdem welche Funktion über welcher liegt.
Eine Tangente berührt die Funktion in einem Punkt (hier P(1|f(1)) ) und hat genau die gleiche Steigung, welche die Funktion in dem Punkt hat. Die Tangente selbst ist eine Gerade.
Du musst also zuerst die Steigung im Punkt P berechnen. Dann kennst du bereits die Steigung m der Gerade. Dann fehlt dir nur noch der y-Achsenabschnitt. Dafür kannst du einfach die Koordinaten des Punktes P für x und y einsetzen und dann zum y-Achsenabschnitt auflösen.
Also:
Grundgleichung der Tangente:
y = m*x + n
Hinweis: Für den y-Achsenabschnitt verwendet man statt n oft auch b, t oder c.
Jetzt einsetzen:
f(1) = m*1 + n
Das m musst du ja dann auch schon ersetzten. Ich habe jetzt den Wert noch nicht, deswegen steht es noch dort. Dann bleibt nur noch das n übrig und dahin kannst du umformen. Dann hast du auch den y-Achsenabschnitt berechnet. Damit hast du dann die Tangentengleichung berechnet.
Und zu der Flächen du brauchst Integration du nehmst den integral von den Tanga und der e funktion, dazu später
Nun du bestimmt Grenzen von integral der e funktion, den erste Grenze ist die y Achse der zweite ist der Punkt 1 f(1) da wo Tangente und e funktion berühren
ich hab in letzten Post kleinigkeit übersehen die gleichung für das Tangente ist y = ax +b und wir müssen noch b bestimmen.
Du nehmst den Punkt wo Du Tangente gibildet hattest und setzt f(1) =y dann x=1
Und dann du stellst um y-ax=b oder f(1)-a*1=b
Und b ist hier 0, also ändert sich eigentlich nix.
So jetzt Grenzen für den Tangente ist du setzt Tangente gleich Null, also ax=o das ist für x=0 null
So nun wir haben alle Grenzen.
Die Grenzen sind für e funktion x=0 und x=1
für tangent x=0 und x=1
Nun integral von Tanga funktion bilden und efunktion abziehen.
der gute Ding ist der integral von efunktion ist gleich der efunktion.
Ambesten du zeichnen.
Jetzt verstehe weshalb Mathematik so eine gute Sprache für naturwissenschaftlichen ist das Sprachlich zu erklären ist so schwer.
Die Ableitung ist die Tangente zu einen beliebigen Punkt, dann setzt du den Punkt ein und du kriegst den Steigung in den Punkt.
Also du weißt dann die Steigung in den Punkt und diese Steigung nimmst du mal x und dann hast du die Tangente
Du solltest den Wert nicht runden. Statt 1,36 solltest du also bei 0,5e bleiben. Das ist ja auch kein wirklicher Umstand. Vor allem wenn ich dann sehe, dass die Tangentengleichung am Ende g(x)=1,36x wird, dann sollte man lieber g(x)=0,5e nehmen..
Hier hast du wohl zu schnell getippt ;) 0,5e^x und nicht 0,5x^e.
Ansonsten gut erklärt! :)