Einheitskreis mit 4pi?
Ich habe eine Frage zum Grad und Bogemaß. Es ist ja bekannt, dass 360 Grad =2pi sind. Aber es wird ja auch immer angenommen das r=1 ist und somit ja 2×pi×1 da steht und somit 2pi. Was ist wenn r z.b = 2 ist geht das überhaupt und wenn nicht warum nicht? Dann müssten ja dort 360 Grad 4pi sein. Aber in jedes mal wird immer angenommen dass der Kreis nur einen Radius von 1 hat. Wäre super wenn einer von euch das weiß.
3 Antworten
Hallo,
Du mußt aufpasssen, mit welcher Einheit Du arbeitest.
Du kannst den Umfang und den Radius eines Kreises in einer Einheit wie cm messen. Wenn Du dann den Umfang durch den doppelten Radius, also durch den Durchmesser teilst, kürzen sich die cm weg und es bleibt eine Zahl übrig, die bei jedem Kreis - egal wie groß - immer gleich ist: 3,1415..., eine Zahl, die unendlich viele Nachkommastellen hat und die nichtperiodisch ist, die Zahl Pi.
Du kannst den Kreisumfang aber auch in einer Einheit messen, die etwas mit dem Kreis selbst zu tun hat, nämlich mit seinem Radius. Ein Kreisumfang hat immer 2Pi, also 6,2831... Radien, unabhängig davon, wie groß dieser Radius ist. Man nennt diese Einheit rad oder Bogenmaß.
Der Einheitskreis hat also nicht unbedingt einen Radius von 1 cm, sondern in ihm wird der Radius als Einheit benutzt und entspricht deswegen logischerweise immer der 1. Auf einem Zollstock entspricht die Einheit cm ja auch der 1.
Wenn Du nun einen Kreis als Vollwinkel von 360° betrachtest, dann würde ein Kreisbogen, der die Länge von einem Radius hat, einen Winkel von 360°/(2*Pi) überstreichen, etwa 57,296°) Dieser Winkel bleibt immer gleich, unabhängig von der Größe des Kreises. 2Pi Radien entsprechen demnach 2Pi*57,296°=360°, Pi Radien also Pi*57,296°=180°, einem gestreckten Winkel oder einem Halbkreis.
Wenn Du den Radius als Einheit nimmst, bleibt das immer so - egal wie lang der Radius in cm sein mag.
Du hast in Deinen Überlegungen einfach die Einheiten durcheinandergeworfen.
Herzliche Grüße,
Willy
Der Einheitskreis heißt Einheitskreis, weil er einen Radius von eins hat. Hat ein Kreis einen anderen Radius, ist es nicht der Einheitskreis.
Man muss natürlich nicht immer mit dem Einheitskreis rechnen. Nur musst du dann natürlich auch immer den Radius mitrechnen. Also ist der Umfang dann nicht mehr 2π, sondern 2πr.
Der Einheitskreis heißt Einheitskreis, weil sein Radius eine Längeneinheit beträgt.
Der Kreis mit Radius r=2 hat den Umfang 4π - aber er ist eben definitionsgemäß kein "Einheitskreis".
okay aber muss man auch immer mit dem einheitskreis rechnen oder kann es situationsbedingt abweichen ?