Eigenschaften einer Kosinusfunktion?

Hallo Bei einer Kosinusfunktion sind bestimmte Eigenschaften vorgesehen z.B. Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Monotonie und Symmetrie, und Periode. Wie erkennt man dies oder wie kann man es ablesen. y=cos (2×X)-2 Vielen Dank schon im Voraus.

Answer 1

[Willibergi]

Das kann man einfach ablesen. Ich vergleiche hier mit der normalen Kosinusfunktion y = cos(x) und deren Eigenschaften.

y = cos(2x) - 2

Der Definitionsbereich ist hier (wie bei der normalen Kosinusfunktion) ganz ℝ, du kannst jede reelle Zahl für x einsetzen und du erhältst ein reelles Ergebnis.

Der Wertebereich ist da schon etwas spannender. Normalerweise ist er [-1; 1], diese Werte kann eine normale Kosinusfunktion annehmen.

Hier ist sie aber um 2 nach unten verschoben (da hinten -2 steht), also ändert sich auch der Wertebereich entsprechend: \W = [-3; -1]

Nun zu den Nullstellen: Bei der normalen Kosinusfunktion liegen die Nullstellen bei Vielfachen von π/2, also bei x = πn - π/2 mit n ∈ ℤ (bei x = 0 liegt keine Nullstelle).

Hier ist aber die Funktion um den Faktor 2 gestreckt, also liegen die Nullstellen in dem Fall bei x = πn/2 - π/4, im gleichen Abschnitt gibt es doppelt so viele Nullstellen (der Graph ist "zusammengedrückt").

Die Monotonie ist nicht schwer, von einer Nullstelle zu einem Hochpunkt und von einem Tiefpunkt zu einer Nullstelle ist die Kosinusfunktion streng monoton steigend, von einem Hochpunkt zu einer Nullstelle und einer Nullstelle zu einem Tiefpunkt streng monoton fallend, hier musst du das eben auf die gegebene Funktion anpassen (aufgrund der Verschiebung nach unten).

Zur Symmetrie: Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch und da hier nichts in x-Richtung verschoben wird, ist das auch bei obiger Funktion der Fall.

Die Periode ist 2π bei der normalen Kosinusfunktion, hier aufgrund der Streckung um 2 eben 2π/2 = π.

Im Grunde genommen musst du eine gegebene trigonometrische Funktion immer nur mit den Eigenschaften der allgemeinen trigonometrischen Funktion vergleichen und dann eben entsprechend anpassen.

LG Willibergi